Замена переменной в уравнении Эйлера

[Nurzery[Rhymes]]

Объясните, как получены формулы замены для решения уравнений Эйлера. Вроде, я создавал похожую тему, но оказалось, что я ничего не понял, и я в этом убедился, читая книгу Пушкаря по диффурам.
Автор подводит нас к решению уравнений Эйлера, показывая метод решений уравнений общего вида:

$$y^{(n)} + p_1 (x) y^{(n-1)} + ... + p_{n-1} (x) y' + p_n (x) y = 0$$

Это уравнение можно привести к уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной по формуле

$$t= c \int\limits_{}^{} \sqrt[n]{p_n (x)}dx$$

Уравнение Эйлера имеет вид:

$$a_o x^n y^{(n)} + a_1 x^{n-1} y^{(n-1)} + ... + a_{n-1}x y' + a_n y = 0$$

В соответствии с заменой, которая описана выше, преобразуем уравнение Эйлера при помощи введения новой независимой переменной по формулам

$$t=\ln x \Rightarrow x=e^t$$

Каким образом эти формулы получены из формулы замены в самом верху? В записи

$$t= c \int\limits_{}^{} \sqrt[n]{p_n (x)}dx$$

под корнем оказывается функция, которая стоит при $y$ на последнем месте в уравнении. В случае уравнения Эйлера эта функция - константа, а интеграл от корня из константы совсем не будет иметь тот вид, который имеет замена переменной для преобразования уравнений Эйлера.

[Ms-dos4]

Nurzery[Rhymes]
Эм, в первой части вашего сообщения написан полный бред. Где это такое написано, что бы уравнение с переменными коэффициентами В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ сводилось к уравнению с постоянными? Или у вас $\[{p_n}\]$ это что то особое, а не произвольная функция?

[Nurzery[Rhymes]]

Ms-dos4 в сообщении #958393 писал(а):

Nurzery[Rhymes]
Эм, в первой части вашего сообщения написан полный бред. Где это такое написано, что бы уравнение с переменными коэффициентами В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ сводилось к уравнению с постоянными? Или у вас $\[{p_n}\]$ это что то особое, а не произвольная функция?

Нет, это произвольная функция. И у Пушкаря написано, что эта замена не всегда приводит к уравнению с постоянными коэффициентами, и даже если так, то она все же полезна, потому что коэффициент при искомой функции будет постоянной величиной.

[Otta]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #958396 писал(а):

потому что коэффициент при искомой функции будет постоянной величиной.

Который из коэффициентов? Это ровно то, что Вам осталось понять.

[Nurzery[Rhymes]]

Otta в сообщении #958397 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #958396 писал(а):

потому что коэффициент при искомой функции будет постоянной величиной.

Который из коэффициентов? Это ровно то, что Вам осталось понять.

Он там один. Остальные стоят при производных. А вообще как я прочитал в книге - так и передаю информацию. Суть в том, что из замены сверху как-то выводится замена для решений уравнений Эйлера, и я не могу понять, как это происходит.

[Ms-dos4]

Nurzery[Rhymes]
Ага, вот теперь ясно. И вы на коэффициент то при $\[{y^{(n)}}(x)\]$ уравнение разделите, вот тогда сразу и увидите как это происходит

[Nurzery[Rhymes]]

Ms-dos4 в сообщении #958401 писал(а):

Nurzery[Rhymes]
Ага, вот теперь ясно. И вы на коэффициент то при $\[{y^{(n)}}(x)\]$ уравнение разделите, вот тогда сразу и увидите как это происходит

А коэффициентом считается целиком $a_0 x^n$, или только $a_0$?

[Ms-dos4]

Nurzery[Rhymes]

Целиком, естественно

[Nurzery[Rhymes]]

Еще последний тупой вопрос задам в этой теме. В чем вообще суть замены переменной? Исходная переменная нас не устраивает, поэтому вместо нее подставляем какую-то функция, закон изменения исходной переменной, который - что нам дает? То есть я не понимаю, почему уравнения $x^2 y'' + xy' + y = 0$ и $e^{2t}y'' + e^t x + y = 0$ одинаково нам подходят.

В актуальное время я не стал вскрывать эту тему, забил, потому что математика и так прекрасно давалась, а задания решались механически без задействования мозга, а сейчас оказалось, что базовых вещей не понимаю.

[Ms-dos4]

Nurzery[Rhymes]
Вы вообще то замену не сделали. Иксы в уравнении заменили, а от $\[y(x)\]$ к $\[y(t)\]$ (особенно касается производных, где фокус и вскрывается) не перешли? Вы хоть чуть чуть голову включите, а не только текст читайте в книге

[Nurzery[Rhymes]]

Ms-dos4 в сообщении #958406 писал(а):

Nurzery[Rhymes]
Вы вообще то замену не сделали. Иксы в уравнении заменили, а от $\[y(x)\]$ к $\[y(t)\]$ (особенно касается производных, где фокус и вскрывается) не перешли? Вы хоть чуть чуть голову включите, а не только текст читайте в книге

Я уже вспомнил, я же много этих уравнений прорешал. Считаем $y$ зависящей от нашей замены, находим производные, и потом все $e$ сокращаются. Трудно включить голову в 3 часа ночи.

[Ms-dos4]

Nurzery[Rhymes]
Ну да. Главное правильно производные пересчитать, ибо они переходят не "один в один", но то, что все экспоненты сократятся и получится именно ЛДУ с постоянными коэффициентами убедится легко.
P.S.И если голову трудно включать в 3 часа ночи, идите лучше выспитесь. Полезнее всё же.

[Nurzery[Rhymes]]

Так что же такое замена переменной? Мне в первую очередь приходят в голову биквадратные уравнения - там удобно переобозначить $x^2 = t$ и работать уже с квадратные уравнением. Но в случае с уравнениями Эйлера все далеко не так просто... и я вижу, что вообще не понимаю, что это за процесс замены переменной, как он проходит в общем случае, к чему приводит, и почему этот результат нас устраивает..

[cool.phenon]

Вот это условие с интегралом было моей курсовой работой несколько лет назад. Достаточно рассмотреть произвольную замену и сопоставить с тем, что хотим получить. И можно даже показать, что если уравнение можно привести к виду с постоянными коэфф., то замена будет именно такой

[Ms-dos4]

Nurzery[Rhymes]
1)Ну замена - это замена.
2)Вид замены произвольный, и какой нужен именно в конкретном случае - неизвестно, и вообще говоря эта задача в общем случае решения не имеет (в любом случае, это непростой вопрос)
3)А конкретно данный результат нас устраивает, т.к. ЛДУ с постоянными коэффициентами решить - не проблема. Т.е. вы хотите сделать замену так, что бы получившееся уравнение вы умели решать, или оно хотя бы было легче для дальнейшего исследования.