Нелинейная система диффуров

[Nurzery[Rhymes]]

Решить нелинейную систему диффуров (номер 1149 из Филиппова)

$\frac{dx}{2y-z}=\frac{dy}{y}=\frac{dz}{z}$

Сначала хочу разобраться, что такое запись системы в симметричной форме. Похоже, что здесь в таком виде записаны два уравнения. Первое это $\frac{dy}{y}-\frac{dz}{z}$, а второе это $\frac{dx}{2y-z}=\frac{dy}{y}$ или $\frac{dx}{2y-z}=\frac{dz}{z}$.

Почему второй уравнение записывается так неоднозначно? И как его решить, если там три переменных?

1) Решаю второе уравнение: $\frac{dy}{y}=\frac{dz}{z}$

$y=Cz$

2) Определить, как выглядит второе уравнение, я не смог, поэтому решил исключить какую-то переменную.

Т.к. $y=Cz$, подставим это выражение в уравнение $\frac{dy}{y}=\frac{dz}{z}$

Имеем:

$\frac{dy}{Cz}=\frac{dz}{z}$

И я не знаю, как из этой записи получить дифференциальное уравнение, которое можно было бы проинтегрировать.

-- 28.12.2014, 20:38 --

Ну я решил это последнее уравнение, но решение мне ничего не дало.
$zdy=Czdz$

$y=Cz$

Я и так получил эту же функцию в предыдущем пункте.

-- 28.12.2014, 20:44 --

Подставил в уравнение $\frac{dx}{2y-z}=\frac{dz}{z}$

$\frac{dx}{2Cz-z}=\frac{dz}{z}$

$zdx=(2Cz-z)dz$

$dx=(2C-1)dz$

$x=2Cz-z + C_2$

Решение:

$\left\{ \begin{array}{rcl} &x=z(2C_1 - 1)+ C_2& \\ &y=C_1 z& \\ \end{array} \right.$

Это решение не совпадает с ответом.

[1r0pb]

Цитата:

Сначала хочу разобраться, что такое запись системы в симметричной форме. Похоже, что здесь в таком виде записаны два уравнения.

Nurzery[Rhymes], Ваша система изначально записана в симметричной форме.
Я бы посоветовал использовать свойство дробей:
если $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f},$ то при ${{\lambda }_{1}}^{2}+{{\lambda }_{2}}^{2}+{{\lambda }_{3}}^{2}\neq 0\ \Rightarrow \ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{{\lambda }_{1}a+{\lambda }_{2}c+{\lambda }_{3}e}{{\lambda }_{1}b+{\lambda }_{2}d+{\lambda }_{3}f}.$

[Nurzery[Rhymes]]

1r0pb в сообщении #953610 писал(а):

Ваша система изначально записана в симметричной форме.

Я это знаю. Я хочу разобраться, как перевести запись в симметричной форму в привычную мне запись в виде системы нескольких диффуров.
Про свойства дробей я тоже знаю - я не вижу, на что здесь лучше домножить.

[1r0pb]

Цитата:

я не вижу, на что здесь лучше домножить.

Nurzery[Rhymes], вторую на минус два и сложить все три. Чтобы выражение имело смысл, числитель должен быть равен нулю. Один интеграл системы уже будет.

[ИСН]

И какой должен быть ответ, если уж на то пошло? И точно ли Ваше решение с ним не совпадает?

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #953618 писал(а):

И какой должен быть ответ, если уж на то пошло? И точно ли Ваше решение с ним не совпадает?

$x+z=C_1$
$(x+y+z)(y-3x-z)=C_2$

-- 28.12.2014, 21:04 --

Ой, сам себя обманул. В тетрадке записал номер 1149, хотя решал 1146. Ответ такой:

$y=C_1 z$

$x=2y-z+C_2$

[Ms-dos4]

Nurzery[Rhymes]
Ну и? Ваш ответ такой же.

[Nurzery[Rhymes]]

1r0pb в сообщении #953617 писал(а):

Цитата:

я не вижу, на что здесь лучше домножить.

Nurzery[Rhymes], вторую на минус два и сложить все три. Чтобы выражение имело смысл, числитель должен быть равен нулю. Один интеграл системы уже будет.

Сделал, как вы советуете:

$\frac{dx-2dy-dz}{2y-z-2y+z}$

$\frac{dx-2dy-dz}{0}$

И что?

-- 28.12.2014, 21:12 --

Ms-dos4 в сообщении #953623 писал(а):

Nurzery[Rhymes]
Ну и? Ваш ответ такой же.

Мой ответ $x=2C_1 z + C_2$ или $x=z(2C_1 - 1) + C_2$, в зависимости от того, как я решил уравнение: $zdx=(2Cz - z)dz$ разделил на $z$ или $\frac{dx}{2Cz-z}=\frac{dz}{z}$ разделил на $\frac{1}{z}$

[1r0pb]

Цитата:

И что?

Nurzery[Rhymes], а ничего. Просто $\frac{dz}{z}=\frac{dx-2dy+dz}{0}=\frac{d(x-2y+z)}{0}\ \Rightarrow \ x-2y+z={C}_{1}.$

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #953625 писал(а):

$x=z(2C_1 - 1) + C_2$,

Если вспомнить, как $C_1$ связано с $y$...

[Nurzery[Rhymes]]

1r0pb в сообщении #953633 писал(а):

Цитата:

И что?

Nurzery[Rhymes], а ничего. Просто $\frac{dz}{z}=\frac{dx-2dy+dz}{0}=\frac{d(x-2y+z)}{0}\ \Rightarrow \ x-2y+z={C}_{1}.$

Не знаю, что такое дифференциал по нулю, который у вас в правой части. Кстати, ни в одной статье и ни в одном учебнике об этом тоже ни слова, хотя в учебной программе такая запись иногда всплывает. По идее для этого надо читать учебники, но 1) не понятно, какой учебник из сотен нужен 2) в какой главе искать объяснение в процессе отбора учебников. И еще не факт, что там объяснение будет доступным. Почему люди, которые не умеют объяснять, пытаются писать учебники?

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #953638 писал(а):

Не знаю, что такое дифференциал по нулю

Да это не дифференциал "по чему-то". Это просто дробь, вернее, пропорция. Условились: если в знаменателе стоит 0, то и в числителе должен быть он же. По правилу пропорции.

-- 28.12.2014, 20:29 --

Кстати, дифференциал "по чему-то" не бывает. "По чему-то" бывает производная. Которую в одномерном случае можно записать как отношение дифференциалов.

[1r0pb]

После этой фразы

Цитата:

Не знаю, что такое дифференциал по нулю

это

Цитата:

Почему люди, которые не умеют объяснять, пытаются писать учебники?

звучит странно.

[Nurzery[Rhymes]]

А в чем вообще цель использования свойства дробей? Для чего мы это делаем, что хотим получить и к чему приравнять? Везде объясняются только методы преобразований выражений, но не ставятся подзадачи, ради выполнения которых все это и делается. Вот, например, такая система:

$\frac{dx}{y+z}=\frac{dy}{x+z}=\frac{dz}{x+y}$

Здесь надо найти два первых интеграла системы. Как это делается? Где четкий алгоритм выполнения задачи?

Допустим, я умножаю числитель и знаменатель первой дроби на 1, второй на -1 и третьей на -1. Складывая эти дроби, получаю:

$\frac{dx-dy-dz}{y+z-x-z-x-y}=\frac{d(x-y-z)}{-2x}$

Что я получил? Зачем я это делал? Что делать дальше?

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #953673 писал(а):

Зачем я это делал?

Ни зачем. Вот если в знаменателе 0 это сразу дает информацию о числителе. А там - дифференциал некоторого выражения. И когда он равен 0?

-- 28.12.2014, 21:37 --

Можно подобрать коэффициенты так, чтобы "сверху" и "снизу" была одна и та же комбинация переменных (с точностью до множителя).