Мат. анализ. Сходимость несобственного

[mellom]

Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции:
$\int\limits_{0}^{\infty}e^{-x^6\sin^2x}dx$
Интеграл сходится, но как это получить?
В указаниях советуют применить соотношение
$\int\limits_{0}^{\infty}f(x)dx = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\int\limits_{\pi(n-1)}^{\pi n}f(x)dx$

[popolznev]

А квадрат синуса точно ли должен быть в показателе степени?

[ex-math]

Вот и примените. Вам надо оценить интеграл от $\pi n$ до $\pi(n+1)$. Для синуса потребуются две оценки снизу -- тривиальная (ноль) в малой окрестности концов промежутка, и что-то фиксированное, но положительное, на остальной части промежутка. Малость окрестности можно взять порядка $1/n^2$.

[mellom]

popolznev в сообщении #953414 писал(а):

А квадрат синуса точно ли должен быть в показателе степени?

Да, точно.

-- 28.12.2014, 21:11 --

ex-math в сообщении #953433 писал(а):

Вот и примените. Вам надо оценить интеграл от $\pi n$ до $\pi(n+1)$. Для синуса потребуются две оценки снизу -- тривиальная (ноль) в малой окрестности концов промежутка, и что-то фиксированное, но положительное, на остальной части промежутка. Малость окрестности можно взять порядка $1/n^2$.

Положительное фиксированное - это видимо $1$. Однако каким образом оценить изменение $-x^6$ в таком случае?

[ИСН]

mellom в сообщении #953553 писал(а):

Положительное фиксированное - это видимо $1$.

Вы с какой стороны оценивать собрались?

-- менее минуты назад --

Вообще, тут по уши достаточно того, что $\sin x\geq{2\over\pi}x$ на $(0,{\pi\over2})$.

[ex-math]

Я Вас наверное сбил с толку лишним словом "фиксированное". Оно, конечно, будет от $n$ зависеть. Собственно, указанный радиус окрестности -- $1/n^2$ и определяет эту границу. Больше чего будет модуль синуса вне окрестностей концов промежутка?

-- 28.12.2014, 22:24 --

ИСН
Здесь это не так удобно -- тогда придется интегрировать.

[ИСН]

И чо? Интеграл известный. А у Вас вон приближение от $n$ зависит. Хрен редьки.

-- менее минуты назад --

Цитата:

Интеграл известный.

А даже пусть бы и не был известный. Всё равно ясно, как он меняется с ростом $n$.

[ex-math]

О, Ваша идея еще удобнее. Просто сделать замену $y=x-\pi n$.

-- 28.12.2014, 22:53 --

У меня просто старая привычка разбивать все на куски.