Исследовать ряд на сходимость

[Limit79]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, исследовать ряд на сходимость

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2+\sin \left ( \frac{\pi n}{4} \right )}{(n+1)^2 \arctg \sqrt[3]{n^2+2}}$$

.

По предельному признаку сравнения с

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$

получаю

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{2+\sin \left ( \frac{\pi n}{4} \right )}{\arctg \sqrt[3]{n^2+2}}$$

Числитель ограничен, в знаменателе $\frac{\pi}{2}$ получается, а вот дальше непонятно... предел же вроде тогда не существует? Тут как-то по-другому нужно?

Спасибо.

[Otta]

Вы сперва попробуйте, может, и вправду, по-другому легче. Зачем сперва спрашивать.

[Limit79]

Otta
Так а я не знаю, как по-другому

-- 26.12.2014, 01:46 --

А, есть идея оценить числитель, а потом исследовать ряд уже без синуса.

[Otta]

А как вообще можно по-другому? вот и пробуйте всё подряд. А потом нам расскажете.

[provincialka]

Limit79 в сообщении #952404 писал(а):

По предельному признаку сравнения

Раз есть "предельный" вариант признака, то, наверное, есть и другой? Какой?

[Otta]

Limit79 в сообщении #952406 писал(а):

А, есть идея оценить числитель, потом исследовать ряд уже без синуса.

Ну вот, дальше думайте. (Не думается Вам без форума :)))

[Limit79]

Наверное так

$$\frac{2+\sin \left ( \frac{\pi n}{4} \right )}{(n+1)^2 \arctg \sqrt[3]{n^2+2}} \leqslant \frac{3}{(n+1)^2 \arctg \sqrt[3]{n^2+2}}$$

[ИСН]

Отож!

[Limit79]

А можно ли написать, что

$$\frac{3}{(n+1)^2 \arctg \sqrt[3]{n^2+2}} \sim \frac{3}{(n+1)^2 \cdot \frac{\pi}{2}} \sim \frac{6}{\pi n^2}, \quad n \to \infty$$

а далее сказать, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ сходится... ну и так далее?

[provincialka]

Limit79
Опять? Хоть шаг самостоятельно сделайте!

[Limit79]

Я и сделал.

-- 26.12.2014, 01:58 --

Благодарю за помощь.

[Otta]

Да не за что. Буквально.