Развить в ряд Тейлора функцию

[provincialka]

chesas в сообщении #949856 писал(а):

Я так понял, что в начале необходимо разложить данную функцию в ряд Тейлора, не так ли?

Так вы же разложили. Просто уберите "лишний" минус, он как-то просочился из под модуля.

[Otta]

Да не он просочился, а модуль забыт первым же действием.

[chesas]

Тогда так
$\frac{1}{1+3x}=1+\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n{3x}^n$

provincialka в сообщении #949857 писал(а):

chesas в сообщении #949856 писал(а):

Я так понял, что в начале необходимо разложить данную функцию в ряд Тейлора, не так ли?

Так вы же разложили. Просто уберите "лишний" минус, он как-то просочился из под модуля.

Я понял — ошибка была когда убрал знак модуля из под предела, большое спасибо "provincialka". Посчитал, что он важен лишь для $x$...
Следовательно, интервал сходимости $-\dfrac{1}{3}<x<\dfrac{1}{3}$
и соответственно, радиус сходимости $R=\dfrac{1}{3}$
Дальше, я так думаю, необходимо найти область сходимости, не так ли?

[ИСН]

Я не хотел говорить слово "модуль", а так-то да, весь смысл в нём.
Ну а теперь да, проверяем на концах.

[Aritaborian]

chesas в сообщении #949814 писал(а):

Если представить $(-3)=(-1)(3)$,
тогда
$(-3)^{n+1}=(-1)^{n+1}(3)^{n+1}$ и $(-3)^{n}=(-1)^{n}(3)^{n}$
и
$\dfrac{(-3)^{n+1}+2^{n+1}}{(-3)^n+2^n}=\dfrac{(-1)^{n+1}3^{n+1}+2^{n+1}}{(-1)^{n}3^{n}+2^n}$
Так вот теперь разделить числитель и знаменатель на одно и то же число, пусть $3^{n+1}$
$\dfrac{(-1)^{n+1}\dfrac{3^{n+1}}{3^{n+1}}+\dfrac{2^{n+1}}{3^{n+1}}}{(-1)^{n}\dfrac{3^{n}}{3^{n+1}}+\dfrac{2^n}{3^{n+1}}}=\dfrac{(-1)^{n+1}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{(-1)^{n}\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}}=\\\dfrac{(-1)^{n+1}+\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)^{\to0}}{(-1)^{n}\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\right)^{\to0}}=-3$

А вам обязательно в решении всё так расписывать? По идее, если вы уже рядами Тейлора занимаетесь, то подобные пределы можно находить на уровне «вон то выбросим, про это вот забудем, самое главное выделим, оп-па, вот и ответ».

[Otta]

chesas в сообщении #949715 писал(а):

$\ln{(1-x-6x^2)}=\ln{(1-3x)}+\ln{(1+2x)}$.

Ну если речь зашла о попроще ... известно, где сходится первое слагаемое (и даже искать ничего не надо, вот только требуют), известно - где второе, значит, известно где сходится сумма.

[chesas]

Aritaborian в сообщении #949882 писал(а):

А вам обязательно в решении всё так расписывать? По идее, если вы уже рядами Тейлора занимаетесь, то подобные пределы можно находить на уровне «вон то выбросим, про это вот забудем, самое главное выделим, оп-па, вот и ответ».

Что есть, то есть — люблю розжевать...