Эйлеровы интегралы

[Ms-dos4]

Вы брать дифференциал то умеете? Я на правую часть смотрю, и мне не очень хорошо становится

[Nurzery[Rhymes]]

Ms-dos4 в сообщении #949136 писал(а):

Вы брать дифференциал то умеете? Я на правую часть смотрю, и мне не очень хорошо становится

Дифференциал берется как $df = f'(x)dx$. Что не так? Или надо было показать, что я дифференцирую по $x$, и тогда получится $\ln y dx$?

[provincialka]

Ну и каким образом производная от $\frac1y$ оказалась равна логарифму?

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #949145 писал(а):

Ну и каким образом производная от $\frac1y$ оказалась равна логарифму?

Действительно, забыл немного таблицу производных. Тогда предыдущее равенство будет таким: $3x^2 dx = -\frac{1}{y^2}dy$

[provincialka]

Другое дело. Выражаем отсюда $dx$ и подставляем в интеграл. Сейчас или чуть позже придется все-таки выразить $x$ через $y$. Но из равенства $1+x^3=1/y$ это сделать нетрудно.

[Nurzery[Rhymes]]

Значит $dx=-\frac{\frac{1}{y^2}dy}{3x^2} = -\frac{dy}{y^2 3x^2}$

$1+x^3 = \frac{1}{y} \Rightarrow x^3 = \frac{1}{y} - 1 \Rightarrow x = (\frac{1}{y}-1)^{\frac{1}{3}}$

Подставляю все, что получилось

$dx=-\frac{dy}{y^2 \cdot 3[(\frac{1}{y}-1)^{\frac{1}{3}}]^2} = -\frac{dy}{y^2 \cdot 3(\frac{1}{y}-1)^{\frac{2}{3}}}$

Уже становится похоже на эйлеров интеграл. Теперь осталось записать что-то вроде

$-\int\limits_{0}^{\infty}y \cdot \frac{dy}{y^2 \cdot 3(\frac{1}{y}-1)^{\frac{2}{3}}}$

и сделать замену $\frac{1}{y} = t$?

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #949165 писал(а):

и сделать замену $\frac{1}{y} = t$?

То есть? Зачем?
Вы, кстати, при переходе к $y$ пределы интегрирования не поменяли. А ведь мы из-за них весь сыр-бор начали.

[Nurzery[Rhymes]]

А, увидел. Один игрек сокращается, другой вносим под скобку, меняем пределы интегрирования и получаем интеграл:

$-\int\limits_{0}^{1}\frac{dy}{3(1-y)^{\frac{2}{3}}}=-\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}(1-y)^{-\frac{2}{3}}dy$

Одного игрека нет, потому что он здесь в степени ноль? Вроде бы такого быть не может.

[provincialka]

Ой! Вы можете хоть одно действие без ошибок сделать? Почему $y$ пропал? И зачем его вообще вносить? Аккуратно посчитайте степени.

[Nurzery[Rhymes]]

Один $y$ сократился, то, что осталось, пока что запишу так:

$-\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}\frac{dy}{y(\frac{1}{y}-1)^{\frac{2}{3}}}$. В скобки хотел внести, чтобы получить стандартную запись эйлерова интеграла 1-го рода, но не получилось.

[Ms-dos4]

Нет. Как вы так делаете то. Вы имеете интеграл
$\[\int\limits_0^\infty {\frac{{dx}}{{1 + {x^3}}} = } - \int\limits_1^0 {\frac{1}{{1 + {x^3}}} \cdot \frac{1}{{3{\xi ^2}{x^2}}}d\xi = } \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + {{({{(\frac{{1 - \xi }}{\xi })}^{\frac{1}{3}}})}^3}}} \cdot \frac{1}{{3{\xi ^2}{{({{(\frac{{1 - \xi }}{\xi })}^{\frac{1}{3}}})}^2}}}d\xi = } \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {{{(1 - \xi )}^{ - \frac{2}{3}}}{\xi ^{ - \frac{1}{3}}}d\xi } \]$

[provincialka]

В стандартной записи $y$ и $1-y$ как раз в разных скобках.

-- 19.12.2014, 00:06 --

Ms-dos4, зачем такие сложности? Первый сомножитель в интеграле после замены - это сразу $y$, мы же его так и обозначали. ТС идет более-менее правильно, хотя и спотыкаясь. А вы ему ответы пишете!

-- 19.12.2014, 00:07 --

Ms-dos4 в сообщении #949209 писал(а):

В скобки хотел внести,

Nurzery[Rhymes] в сообщении #949193 писал(а):

В скобки хотел внести,

Нет, наоборот, вынесите.

[Nurzery[Rhymes]]

Ого как красиво получается. А зачем подставлять именно $\frac{1}{1+x^3}$, если уже сделали замену $y=\frac{1}{1+x^3}$ и с помощью этой замены рассчитали дифференциал?
И что происходит в первой дроби под третьим интегралом?

[Ms-dos4]

provincialka
А ну да,у меня уже мозг тупит, но
1)Он потерял минус, ибо перепутал пределы
2)Цитату в вашем сообщении не я писал

-- Пт дек 19, 2014 00:10:19 --

Nurzery[Rhymes]
Да не, там идиотизм происходит, у вас проще. В общем вы пределы перепутали после перехода, и у вас минус ещё один не появился.

[provincialka]

Ms-dos4 в сообщении #949213 писал(а):

Цитату в вашем сообщении не я писал

Ms-dos4 в сообщении #949213 писал(а):

А ну да,у меня уже мозг тупит, но

- и у меня тоже! Поправлю. Раньше я вроде не "промахивалась".