2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел экспоненты
Сообщение17.12.2014, 22:28 


28/11/14
14
Равен ли предел экспоненты - экспоненте предела?
И каким образом это доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел экспоненты
Сообщение17.12.2014, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10813
Казань
Не совсем просто. Элементарные функции строятся сначала для рациональных чисел, потом продолжаются на вещественные с помощью некоего предельного перехода, корректность которого надо еще доказать. Причем сначала надо ввести не показательную функцию, а степенную.
Там еще используется равномерная непрерывность.

-- 17.12.2014, 22:46 --

Впрочем, конкретно для экспоненты есть и другие способы задания

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел экспоненты
Сообщение17.12.2014, 22:47 


15/04/12
175
А может все проще, и надо использовать непрерывность экспоненциальной функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел экспоненты
Сообщение17.12.2014, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10813
Казань
Ну, если экспоненциальная функция уже была построена, и непрерывность ее доказана - то да, почему бы нет. Тогда задача становится тривиальной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел экспоненты
Сообщение18.12.2014, 07:34 
Заслуженный участник


11/05/08
30608
Исходное утверждение попросту равносильно непрерывности показательной функции, а она тривиальна в том смысле, что сама эта функция строится на соображениях непрерывности. Т.е. если у нас уже есть точное определение показательной функции, то автоматически есть и её непрерывность.

provincialka в сообщении #948563 писал(а):
Причем сначала надо ввести не показательную функцию, а степенную.

В некотором смысле наоборот. Т.е. сначала, конечно, нужны степенные функции, но -- лишь с рациональными показателями, на их основе строится показательная функция уже общего вида и только из неё получается общая степенная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел экспоненты
Сообщение18.12.2014, 08:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5443
Новосибирск
ewert в сообщении #948677 писал(а):
Исходное утверждение попросту равносильно непрерывности показательной функции, а она тривиальна в том смысле, что сама эта функция строится на соображениях непрерывности.

А где гарантия, что получили желаемое? Тривиально получится лишь сходимость к значению, когда аргумент бежит в множестве рациональных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел экспоненты
Сообщение18.12.2014, 08:39 
Заслуженный участник


11/05/08
30608
Значение показательной функции в иррациональной точке по определению равно пределу её значений в рациональных (удобнее, правда, говорить не о пределах, а о супремумах, но это непринципиально). Для того, чтобы это определение было осмысленно, надо предварительно доказать, что эта функция непрерывна в соответствующем смысле на множестве рациональных чисел. После этого, да, надо формально доказать, что она и на вещественных останется непрерывной; но вот это уже делается тривиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел экспоненты
Сообщение18.12.2014, 12:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10813
Казань
ewert в сообщении #948677 писал(а):
Т.е. сначала, конечно, нужны степенные функции, но -- лишь с рациональными показателями,
Да, конечно. Я просто не стала вдаваться в подробности, не зная уровень спрашивающего и что ему известно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел экспоненты
Сообщение18.12.2014, 13:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5443
Новосибирск
ewert в сообщении #948682 писал(а):
После этого, да, надо формально доказать, что она и на вещественных останется непрерывной; но вот это уже делается тривиально.

Вот это я и хотел сказать. Тривиально из одной лишь логики (как частенько слышишь на экзаменах) не выходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел экспоненты
Сообщение18.12.2014, 18:05 
Заслуженный участник


11/05/08
30608

(Оффтоп)

bot в сообщении #948757 писал(а):
Тривиально из одной лишь логики (как частенько слышишь на экзаменах) не выходит.

Нет, там уже воистину тривиально: уж если значение есть предел по рациональным последовательностям, то тем более и по всем вещественным. Не вполне тривиально здесь лишь само существование предела.

provincialka в сообщении #948750 писал(а):
Я просто не стала вдаваться в подробности,

А я, кстати, не сразу врубился, зачем Вы упомянули про равномерную сходимость. Да, фактически там используется именно она; но называть чорта по имени всё же не хочется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел экспоненты
Сообщение18.12.2014, 18:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10813
Казань

(ewert)

да я , собственно, никогда в эти вещи не вдумывалась. Есть в методичке глава - и ладно. Лекции-то я вечерникам читала. Им об этом говорить - все равно что мучить детей. Я же не изверг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел экспоненты
Сообщение18.12.2014, 18:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12532
Москва
Любой, у кого не трясутся руки, может провести график экспоненты, не отрывая карандаша от бумаги! Разве это не доказывает непрерывность экспоненты? :shock:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group