Предел экспоненты

[gugr]

Равен ли предел экспоненты - экспоненте предела?
И каким образом это доказать?

[provincialka]

Не совсем просто. Элементарные функции строятся сначала для рациональных чисел, потом продолжаются на вещественные с помощью некоего предельного перехода, корректность которого надо еще доказать. Причем сначала надо ввести не показательную функцию, а степенную.
Там еще используется равномерная непрерывность.

-- 17.12.2014, 22:46 --

Впрочем, конкретно для экспоненты есть и другие способы задания

[dikiy]

А может все проще, и надо использовать непрерывность экспоненциальной функции?

[provincialka]

Ну, если экспоненциальная функция уже была построена, и непрерывность ее доказана - то да, почему бы нет. Тогда задача становится тривиальной.

[ewert]

Исходное утверждение попросту равносильно непрерывности показательной функции, а она тривиальна в том смысле, что сама эта функция строится на соображениях непрерывности. Т.е. если у нас уже есть точное определение показательной функции, то автоматически есть и её непрерывность.

provincialka в сообщении #948563 писал(а):

Причем сначала надо ввести не показательную функцию, а степенную.

В некотором смысле наоборот. Т.е. сначала, конечно, нужны степенные функции, но -- лишь с рациональными показателями, на их основе строится показательная функция уже общего вида и только из неё получается общая степенная.

[bot]

ewert в сообщении #948677 писал(а):

Исходное утверждение попросту равносильно непрерывности показательной функции, а она тривиальна в том смысле, что сама эта функция строится на соображениях непрерывности.

А где гарантия, что получили желаемое? Тривиально получится лишь сходимость к значению, когда аргумент бежит в множестве рациональных чисел.

[ewert]

Значение показательной функции в иррациональной точке по определению равно пределу её значений в рациональных (удобнее, правда, говорить не о пределах, а о супремумах, но это непринципиально). Для того, чтобы это определение было осмысленно, надо предварительно доказать, что эта функция непрерывна в соответствующем смысле на множестве рациональных чисел. После этого, да, надо формально доказать, что она и на вещественных останется непрерывной; но вот это уже делается тривиально.

[provincialka]

ewert в сообщении #948677 писал(а):

Т.е. сначала, конечно, нужны степенные функции, но -- лишь с рациональными показателями,

Да, конечно. Я просто не стала вдаваться в подробности, не зная уровень спрашивающего и что ему известно.

[bot]

ewert в сообщении #948682 писал(а):

После этого, да, надо формально доказать, что она и на вещественных останется непрерывной; но вот это уже делается тривиально.

Вот это я и хотел сказать. Тривиально из одной лишь логики (как частенько слышишь на экзаменах) не выходит.

[ewert]

(Оффтоп)

bot в сообщении #948757 писал(а):

Тривиально из одной лишь логики (как частенько слышишь на экзаменах) не выходит.

Нет, там уже воистину тривиально: уж если значение есть предел по рациональным последовательностям, то тем более и по всем вещественным. Не вполне тривиально здесь лишь само существование предела.

provincialka в сообщении #948750 писал(а):

Я просто не стала вдаваться в подробности,

А я, кстати, не сразу врубился, зачем Вы упомянули про равномерную сходимость. Да, фактически там используется именно она; но называть чорта по имени всё же не хочется.

[provincialka]

(ewert)

да я , собственно, никогда в эти вещи не вдумывалась. Есть в методичке глава - и ладно. Лекции-то я вечерникам читала. Им об этом говорить - все равно что мучить детей. Я же не изверг.

[Brukvalub]

Любой, у кого не трясутся руки, может провести график экспоненты, не отрывая карандаша от бумаги! Разве это не доказывает непрерывность экспоненты?