Док-во предела последовательности через определеление

[kostiv]

Задание звучит так: непосредственно используя определение предела последовательности, доказать, что
$\lim_{n\to\infty}\frac{5+\sqrt{2n^2+3}}{5-\sqrt{2n^2+3}}=-1$ $n \in \mathbb{N}$
Я добрался до неравенства:
$\left|\frac{10}{5-\sqrt{2n^2+3}}\right|<\varepsilon$
Дальше испытываю проблемы с раскрытием. Будь это просто неравенство, я бы преобразовал его в неравенство:
$-\varepsilon<\frac{10}{5-\sqrt{2n^2+3}}<\varepsilon$
А потом ещё разложил бы на четыре отдельных уравнения, т.к. знаменатель в данном случае может быть как отрицательным, так и положительным. Но как мне поступить, если я доказываю предел?

[Joker_vD]

kostiv в сообщении #946636 писал(а):

знаменатель в данном случае может быть как отрицательным, так и положительным.

Забейте на положительный случай. Считайте, что знаменатель может быть только отрицательным (т.е. что $n>3$).

[kostiv]

Joker_vD в сообщении #946637 писал(а):

Забейте на положительный случай. Считайте, что знаменатель может быть только отрицательным (т.е. что $n>3$).

Спасибо, это сильно облегчает задачу, а придраться к такому решению могут?
И, кстати, это приводит к ещё одной проблеме, получается неравенство:
$\sqrt{2n^2+3}>-\frac{10-5\varepsilon}{\varepsilon}$
В результате, я не могу избавиться от корня, для этого нужно ограничивать эпсилон, который должен быть любым числом. Или я что-то неправильно интерпретирую в определении предела последовательности?

[TOTAL]

kostiv в сообщении #946639 писал(а):

В результате, я не могу избавиться от корня, для этого нужно ограничивать эпсилон, который должен быть любым числом.

Просто выкидывайте этот корень $\frac{10}{\sqrt{2n^2+3}-5}< \frac{10}{n-5} <\varepsilon$

[kostiv]

TOTAL в сообщении #946643 писал(а):

Просто выкидывайте этот корень $\frac{10}{\sqrt{2n^2+3}-5}< \frac{10}{n-5} <\varepsilon$

А на каком основании я имею право его так выкидывать?

[TOTAL]

kostiv в сообщении #946645 писал(а):

TOTAL в сообщении #946643 писал(а):

Просто выкидывайте этот корень $\frac{10}{\sqrt{2n^2+3}-5}< \frac{10}{n-5} <\varepsilon$

А на каком основании я имею право его так выкидывать?

Вам требуется документ, разрешающий выкидывать? Или Вам требуется что-то другое? Что именно, что хотите доказать, указать, найти?

[kostiv]

TOTAL в сообщении #946650 писал(а):

Вам требуется документ, разрешающий выкидывать? Или Вам требуется что-то другое? Что именно, что хотите доказать, указать, найти?

Кажется понял, спасибо