Теоретическая Гидромеханика

[TripleLucker]

Утундрий в сообщении #945782 писал(а):

TripleLucker в сообщении #945694 писал(а):

зануляется скорость. Это, наверное, нормально. Или все-таки плохо?

Не вся скорость, а только её $y$-составляющая. Это и значит, что $y=0$ действительно непроницаемая стенка. Теперь, чтобы найти давление, нужно посчитать на стенке $x$-составляющую скорости.

TripleLucker в сообщении #945694 писал(а):

альше уравнение Бернулли:
$\frac{{{\upsilon ^2}}}{2} + \frac{p}{\rho } + gy = const$

Член с $g$ можно выбросить.

Да, я выбросил его. А константу тоже нулевой можно положить же? И иксовая компонента - это вещественная часть производной при y=0 же? Что-то там нехорошие интегралы получаются..

[Утундрий]

TripleLucker в сообщении #945798 писал(а):

константу тоже нулевой можно положить же?

Нельзя: $v^2 + 2p = v_\infty ^2 + 2p_\infty $, где для простоты положено $\rho = 1$.

TripleLucker в сообщении #945798 писал(а):

Что-то там нехорошие интегралы получаются..

Формулу для $p$ сперва приведите.

[TripleLucker]

Утундрий в сообщении #945801 писал(а):

TripleLucker в сообщении #945798 писал(а):

константу тоже нулевой можно положить же?

Нельзя: $v^2 + 2p = v_\infty ^2 + 2p_\infty $, где для простоты положено $\rho = 1$.

TripleLucker в сообщении #945798 писал(а):

Что-то там нехорошие интегралы получаются..

Формулу для $p$ сперва приведите.

В общем я выразил все и там есть один интеграл хороший, он у меня в 0 на бесконечности ушел, а второй я в вольфрам вбил и там совсем нетривиальное выражение получилось, но на бесконечности оно уходит в число, которое дает верный ответ, только со знаком минуса. К сожалению, сейчас не могу дойти до компьютера, поэтому завтра приведу формулу, которая у меня получилась.

[TripleLucker]

Цитата:

Формулу для $p$ сперва приведите.

В общем, т.к. скорость на бесконечности - заданная скорость обтекания в начале, то формула для давления будет выглядеть так:

\[p - {p_\infty } = \frac{1}{2}\rho ({U^2} - \upsilon _x^2)\]

Теперь иксовая компонента скорости:

\[{\upsilon _x} = U + \frac{{m({x^2} - {h^2})}}{{\pi {{({x^2} + {h^2})}^2}}}\]

Из-за одинаковых знаменателей и числителей дроби можно сложить и двойка перед числом Пи сократится. Возводя в квадрат и подставляя в формулу для давления, сократится как раз начальная скорость и останется два члена. По ним берем интеграл:

\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {(p - {p_\infty })dx = - \frac{1}{2}\rho [} \frac{{2Um}}{\pi }\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{x^2} - {h^2}}}{{{{({x^2} + {h^2})}^2}}}dx + } \frac{{{m^2}}}{{{\pi ^2}}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{({x^2} - {h^2})}}{{{{({x^2} + {h^2})}^4}}}}dx \]

Первый интеграл:

\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{x^2} - {h^2}}}{{{{({x^2} + {h^2})}^2}}}dx = - \frac{x}{{{h^2} + {x^2}}}_{ - \infty }^{ + \infty } = 0} \]

Второй интеграл:

\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{{({x^2} - {h^2})}^2}}}{{{{({x^2} + {h^2})}^4}}}dx = \frac{{9{h^5}x + 4{h^3}{x^3} + 3{{({h^2} + {x^2})}^3}arctg(\frac{x}{h}) + 3h{x^5}}}{{12{h^3}{{({h^2} + {x^2})}^3}}}_{ - \infty }^{ + \infty }} \]

Вот тут слагаемые без арктангенса в ноль уйдут, а где арктангенс, там скобки сокращаются и получится:

\[\frac{{arctg(\frac{x}{h})}}{{4{h^3}}}_{ - \infty }^{ + \infty } = \frac{{\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2}}}{{4{h^3}}} = \frac{\pi }{{4{h^3}}}\]

И тогда сила:

\[R = - \frac{{{m^2}\rho }}{{8\pi {h^3}}}\]

-- 14.12.2014, 13:01 --

Хм, я тут еще понял, что если h<0, то последний интеграл отрицательным получится.

[Утундрий]

Ну, как-то так. У меня тоже получились интегралы от функции ${{\left( {x^2 - 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {x^2 - 1} \right)} {\left( {x^2 + 1} \right)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\left( {x^2 + 1} \right)}}^2 $ и от её квадрата. Кстати, занятно, что результат не зависит от наличия набегающего потока.

[TripleLucker]

И правда интересно. Спасибо огромное! Только последний вопрос: когда нужно использовать этот метод отражений, не именно тут, а вообще?

[Утундрий]

TripleLucker в сообщении #946274 писал(а):

когда нужно использовать этот метод отражений, не именно тут, а вообще?

Он вообще мало где работает. Пожалуй, только когда стенки - лучи или окружности.

[Zai]

TripleLucker в сообщении #944138 писал(а):

Диполь с осью параллельной оси Ох, расположенный на расстоянии h от оси Ox, обтекается равномерным потоком вдоль непроницаемой пластинки.

Что-то сила между электрическими диполями падает обратно пропорционально четвертой степени. У Вас кстати не ясно притягиваются диполи или отталкиваются.