2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Предельные точки
Сообщение09.12.2014, 01:01 
Заслуженный участник


11/05/08
30617
main.c в сообщении #942779 писал(а):
Почему ещё через $n$ поворотов мы получим следующую точку на расстоянии $\varepsilon$ от второй?

Не на эпсилон, а некоторое фиксированное расстояние, меньшее эпсилона. На то самое, на которое мы сдвинулись на окружности за предыдущие эн шагов.

Там формальный пробел в другом. В формализации этого интуитивного соображения. Но она (формализация) очевидна: нужно лишь предварительно зафиксировать, что всюду плотность равносильна тому, что ни один интервал заранее заданной длины не может не содержать ни одной точки из этой последовательности.

-- Вт дек 09, 2014 02:03:34 --

patzer2097 в сообщении #942796 писал(а):
"бесконечное подмножество отрезка содержит две сколь угодно близкие точки" :?:

Этого недостаточно. И grizzly как раз и восполнял эту недостаточность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение09.12.2014, 01:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3324
ewert в сообщении #942797 писал(а):
Там формальный пробел в другом.

Я не стремился тогда совсем уж аккуратно всё расписать. Но отталкивался я именно от рассмотрения произвольной точки и ссылался здесь
grizzly в сообщении #942743 писал(а):
Задали произвольное $\varepsilon$ из определения предельной точки

на определение для этой точки. Целью рассуждения было показать, что раз в любую $\varepsilon $ окрестность произвольной выбранной точки попадёт наше множество, то по определению получим, что точка предельная.

Я согласен с неряшливостью оформления, но не с пробелом (хотя бы не с этим :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение09.12.2014, 01:21 
Заслуженный участник


14/03/10
867
ewert в сообщении #942797 писал(а):
Этого недостаточно.
:twisted: я отметил два минимально содержательных шага, которые достаточно сделать при доказательстве, но, конечно, только одного из них недостаточно
ewert в сообщении #942797 писал(а):
И grizzly как раз и восполнял эту недостаточность.
не знаю, grizzly вроде сразу написал, что если точки $k$ и $n+k$ различаются меньше, чем на $\varepsilon$, то среди точек $k+n\mathbb{Z}$ будут такие, которые попадут в любой наперед заданный интервал длины $\varepsilon$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение09.12.2014, 01:26 


22/07/12
545
ewert в сообщении #942797 писал(а):
Не на эпсилон, а некоторое фиксированное расстояние, меньшее эпсилона. На то самое, на которое мы сдвинулись на окружности за предыдущие эн шагов.

Там формальный пробел в другом. В формализации этого интуитивного соображения. Но она (формализация) очевидна: нужно лишь предварительно зафиксировать, что всюду плотность равносильна тому, что ни один интервал заранее заданной длины не может не содержать ни одной точки из этой последовательности.

Вот смотрите, зафиксируем произвольное $\varepsilon > 0$ и начинаем крутить барабан. Через какое-то количество поворотов мы получим 2 точки $a$ и $b$, расстояние между которыми $r$ - меньше $\varepsilon$. Пусть первую мы получили через $k$ поворотов, а вторую через $k+n$ поворотов. Ещё через $n$ поворотов мы получим точку $c$ на расстоянии $r$ от точки $b$. Это я понимаю, но я не понимаю, откуда мы взяли вот это:
patzer2097 в сообщении #942806 писал(а):
что если точки $k$ и $n+k$ различаются меньше, чем на $\varepsilon$, то среди точек $k+n\mathbb{Z}$ будут такие, которые попадут в любой наперед заданный интервал длины $\varepsilon$

Вот это момент мне непонятен. Интуитивно я понимаю, что так и будет, но надо ведь это как-то обосновать.

-- 09.12.2014, 02:00 --

Всё, кажется я придумал, как тут быть. Пусть $\alpha$ - несоизмеримое с $2\pi$ число. Не теряя общности начнём с точки 0. После $n$ поворотов мы обязательно получим точку $a$ - на расстоянии $r_1  \leqslant \dfrac{\alpha}{2}$ от точки 0 - это следует из условия несоизмеримости. На данном повороте расстояние между любыми точками не более $\alpha$. Затем ещё через $n$ поворотов мы получим точку на расстонии $r$ от точки $a$, ещё через $n$ ещё одну точку. Таким образом через $kn$ поворотов, где $k$ - какое-то натурально число, мы подойдём к точке $a$ на расстояние $r_2  \leqslant \dfrac{r_1}{2}$. На данном повороте расстояние между любыми точками не более $r_1$. Таким образом максимальное расстояние между 2 точками будет стремится к 0. Что и означает, что любая точка является предельной. Что Вы думаете о данном доказательстве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение09.12.2014, 08:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1588
Москва
Что-то вы перемудрили. Возьмем любую точку $[0,2\pi) $. Если она не является предельной, то при некотором $\varepsilon$ в соответствующей окрестности не будет точек нашей последовательности. Рассматривая точки $n $ при $n=0,\dots, [1/\varepsilon] $ по модулю $2\pi $, найдем две $\varepsilon $-близкие, скажем $n_1$ и $n_2$. Тогда точки $k (n_1-n_2) $ по модулю $2\pi $ покроют наш полуинтервал с положительным шагом, меньшим $\varepsilon $, т.е. попадут и в окрестность нашей точки тоже. Противоречие.

-- 09.12.2014, 08:54 --

main.c
Пусть дробная часть $\frac {n_1-n_2}{2\pi}=a $, где $0 <a <\varepsilon $. Посчитайте явно, чему будут равны дробные части $k\frac {n_1-n_2}{2\pi} $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение09.12.2014, 15:12 


22/07/12
545
ex-math в сообщении #942874 писал(а):
Что-то вы перемудрили.

Не понял, это значит, что оно неверное? Или верное, но перемудрёное?)))
ex-math в сообщении #942874 писал(а):
Возьмем любую точку $[0,2\pi) $. Если она не является предельной, то при некотором $\varepsilon$ в соответствующей окрестности не будет точек нашей последовательности. Рассматривая точки $n $ при $n=0,\dots, [1/\varepsilon] $ по модулю $2\pi $

Раз уж мы в данном случае говорим про окружность, то Вы наверное хотели сказать: "рассматривая точки $n $ при $n=0,\dots, [2\pi/\varepsilon] $ по модулю $2\pi$"
ex-math в сообщении #942874 писал(а):
найдем две $\varepsilon $-близкие

Тут Вы, я так понимаю, подразумеваете 2 точки с расстоянием меньше $\varepsilon$.
ex-math в сообщении #942874 писал(а):
Тогда точки $k (n_1-n_2) $ по модулю $2\pi $ покроют наш полуинтервал с положительным шагом, меньшим $\varepsilon $, т.е. попадут и в окрестность нашей точки тоже.

А тут Вы наверное хотели сказать, что покроют нашу окружность с положительным шагом, меньшим $\varepsilon $. Если всё именно так, как я понял, то да, это доказательство немного короче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельные точки
Сообщение09.12.2014, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1588
Москва
main.c
Примерно так, да. Я бы не цеплялся так за окружность, она ведь углом параметризуется и можно рассматривать точки на полуинтервале -- это нагляднее и проще.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group