Предельные точки

[ewert]

main.c в сообщении #942779 писал(а):

Почему ещё через $n$ поворотов мы получим следующую точку на расстоянии $\varepsilon$ от второй?

Не на эпсилон, а некоторое фиксированное расстояние, меньшее эпсилона. На то самое, на которое мы сдвинулись на окружности за предыдущие эн шагов.

Там формальный пробел в другом. В формализации этого интуитивного соображения. Но она (формализация) очевидна: нужно лишь предварительно зафиксировать, что всюду плотность равносильна тому, что ни один интервал заранее заданной длины не может не содержать ни одной точки из этой последовательности.

-- Вт дек 09, 2014 02:03:34 --

patzer2097 в сообщении #942796 писал(а):

"бесконечное подмножество отрезка содержит две сколь угодно близкие точки"

Этого недостаточно. И grizzly как раз и восполнял эту недостаточность.

[grizzly]

ewert в сообщении #942797 писал(а):

Там формальный пробел в другом.

Я не стремился тогда совсем уж аккуратно всё расписать. Но отталкивался я именно от рассмотрения произвольной точки и ссылался здесь

grizzly в сообщении #942743 писал(а):

Задали произвольное $\varepsilon$ из определения предельной точки

на определение для этой точки. Целью рассуждения было показать, что раз в любую $\varepsilon $ окрестность произвольной выбранной точки попадёт наше множество, то по определению получим, что точка предельная.

Я согласен с неряшливостью оформления, но не с пробелом (хотя бы не с этим :)

[patzer2097]

ewert в сообщении #942797 писал(а):

Этого недостаточно.

я отметил два минимально содержательных шага, которые достаточно сделать при доказательстве, но, конечно, только одного из них недостаточно

ewert в сообщении #942797 писал(а):

И grizzly как раз и восполнял эту недостаточность.

не знаю, grizzly вроде сразу написал, что если точки $k$ и $n+k$ различаются меньше, чем на $\varepsilon$, то среди точек $k+n\mathbb{Z}$ будут такие, которые попадут в любой наперед заданный интервал длины $\varepsilon$

[main.c]

ewert в сообщении #942797 писал(а):

Не на эпсилон, а некоторое фиксированное расстояние, меньшее эпсилона. На то самое, на которое мы сдвинулись на окружности за предыдущие эн шагов.

Там формальный пробел в другом. В формализации этого интуитивного соображения. Но она (формализация) очевидна: нужно лишь предварительно зафиксировать, что всюду плотность равносильна тому, что ни один интервал заранее заданной длины не может не содержать ни одной точки из этой последовательности.

Вот смотрите, зафиксируем произвольное $\varepsilon > 0$ и начинаем крутить барабан. Через какое-то количество поворотов мы получим 2 точки $a$ и $b$, расстояние между которыми $r$ - меньше $\varepsilon$. Пусть первую мы получили через $k$ поворотов, а вторую через $k+n$ поворотов. Ещё через $n$ поворотов мы получим точку $c$ на расстоянии $r$ от точки $b$. Это я понимаю, но я не понимаю, откуда мы взяли вот это:

patzer2097 в сообщении #942806 писал(а):

что если точки $k$ и $n+k$ различаются меньше, чем на $\varepsilon$, то среди точек $k+n\mathbb{Z}$ будут такие, которые попадут в любой наперед заданный интервал длины $\varepsilon$

Вот это момент мне непонятен. Интуитивно я понимаю, что так и будет, но надо ведь это как-то обосновать.

-- 09.12.2014, 02:00 --

Всё, кажется я придумал, как тут быть. Пусть $\alpha$ - несоизмеримое с $2\pi$ число. Не теряя общности начнём с точки 0. После $n$ поворотов мы обязательно получим точку $a$ - на расстоянии $r_1 \leqslant \dfrac{\alpha}{2}$ от точки 0 - это следует из условия несоизмеримости. На данном повороте расстояние между любыми точками не более $\alpha$. Затем ещё через $n$ поворотов мы получим точку на расстонии $r$ от точки $a$, ещё через $n$ ещё одну точку. Таким образом через $kn$ поворотов, где $k$ - какое-то натурально число, мы подойдём к точке $a$ на расстояние $r_2 \leqslant \dfrac{r_1}{2}$. На данном повороте расстояние между любыми точками не более $r_1$. Таким образом максимальное расстояние между 2 точками будет стремится к 0. Что и означает, что любая точка является предельной. Что Вы думаете о данном доказательстве?

[ex-math]

Что-то вы перемудрили. Возьмем любую точку $[0,2\pi) $. Если она не является предельной, то при некотором $\varepsilon$ в соответствующей окрестности не будет точек нашей последовательности. Рассматривая точки $n $ при $n=0,\dots, [1/\varepsilon] $ по модулю $2\pi $, найдем две $\varepsilon $-близкие, скажем $n_1$ и $n_2$. Тогда точки $k (n_1-n_2) $ по модулю $2\pi $ покроют наш полуинтервал с положительным шагом, меньшим $\varepsilon $, т.е. попадут и в окрестность нашей точки тоже. Противоречие.

-- 09.12.2014, 08:54 --

main.c
Пусть дробная часть $\frac {n_1-n_2}{2\pi}=a $, где $0 <a <\varepsilon $. Посчитайте явно, чему будут равны дробные части $k\frac {n_1-n_2}{2\pi} $.

[main.c]

ex-math в сообщении #942874 писал(а):

Что-то вы перемудрили.

Не понял, это значит, что оно неверное? Или верное, но перемудрёное?)))

ex-math в сообщении #942874 писал(а):

Возьмем любую точку $[0,2\pi) $. Если она не является предельной, то при некотором $\varepsilon$ в соответствующей окрестности не будет точек нашей последовательности. Рассматривая точки $n $ при $n=0,\dots, [1/\varepsilon] $ по модулю $2\pi $

Раз уж мы в данном случае говорим про окружность, то Вы наверное хотели сказать: "рассматривая точки $n $ при $n=0,\dots, [2\pi/\varepsilon] $ по модулю $2\pi$"

ex-math в сообщении #942874 писал(а):

найдем две $\varepsilon $-близкие

Тут Вы, я так понимаю, подразумеваете 2 точки с расстоянием меньше $\varepsilon$.

ex-math в сообщении #942874 писал(а):

Тогда точки $k (n_1-n_2) $ по модулю $2\pi $ покроют наш полуинтервал с положительным шагом, меньшим $\varepsilon $, т.е. попадут и в окрестность нашей точки тоже.

А тут Вы наверное хотели сказать, что покроют нашу окружность с положительным шагом, меньшим $\varepsilon $. Если всё именно так, как я понял, то да, это доказательство немного короче.

[ex-math]

main.c
Примерно так, да. Я бы не цеплялся так за окружность, она ведь углом параметризуется и можно рассматривать точки на полуинтервале -- это нагляднее и проще.