Колба с газом, лопнувшая в космосе.

[gugr]

Запаянная стеклянная колба объемом V = 5,0 л, заполненная азотом в
количестве n = 3,0 моль, оказалась в космическом пространстве. Колба
лопнула, и газ стал неограниченно расширяться. Рассматривая азот как
реальный газ, определите изменение его температуры ΔТ. Константа Ван-
дер-Ваальса а = 0,137 Н·м4/моль2 .

Пытался решить через уравнение внутренней энергии реального газа, но ни к чему не пришел.

[Ms-dos4]

Ну ка напишите как вы пытались, т.к. именно через него задача легко решается.

[gugr]

Ms-dos4 в сообщении #942726 писал(а):

Ну ка напишите как вы пытались, т.к. именно через него задача легко решается.

Я знаю две формулы:
1) $\Delta U=Cv\Delta T-\frac{a}{V^2}\Delta V$
2) $U=CvT-\frac{a}{V}$

Так как с физикой совсем нехорошо, а эти формулы я запомнил с лекций, то не могу понять как решить их, если конечный объем равен бесконечности. И к для чего здесь даны моли? Я так понимаю, что через них нужно найти теплоемкость газа?

[Ms-dos4]

gugr
Во первых, $\[{C_V}\]$ газа ВдВ равна $\[{C_V}\]$ идеального газа. Колебательные степени свободы по видимому можно не учитывать (если температура газа невысокая, они выморожены). Внутренняя энергия газа ВдВ есть $\[U = \nu {C_V}T - \frac{{{\nu ^2}a}}{V}\]$. Когда газ расширялся в вакуум работы он не совершал, значит $\[U = {\rm{const}}\]$. Считая объём газа после расширения $\[V \to \infty \]$ уже легко сосчитать изменение температуры.

[gugr]

Ms-dos4 в сообщении #942741 писал(а):

gugr
Во первых, $\[{C_V}\]$ газа ВдВ равна $\[{C_V}\]$ идеального газа. Колебательные степени свободы по видимому можно не учитывать (если температура газа невысокая, они выморожены). Внутренняя энергия газа ВдВ есть $\[U = \nu {C_V}T - \frac{{{\nu ^2}a}}{V}\]$. Когда газ расширялся в вакуум работы он не совершал, значит $\[U = {\rm{const}}\]$. Считая объём газа после расширения $\[V \to \infty \]$ уже легко сосчитать изменение температуры.

Получается, что стремящийся к бесконечности объем приводит второе слагаемое к бесконечно малому значению, и оно никак не влияет. Верно? И каким образом найти значение внутренней энергии?

[Ms-dos4]

Верно. Запишите выражения для внутренней энергии до и после расширения.

[gugr]

Ms-dos4 в сообщении #942745 писал(а):

Верно. Запишите выражения для внутренней энергии до и после расширения.

$\nu CvT_1-\frac{\nu^2 a}{V_1}=\nu CvT_2$
Вот так у меня получилось. Каким образом найти первоначальную температуру?

[Ms-dos4]

А зачем находить. В задаче от вас хотят $\[\Delta T = {T_2} - {T_1}\]$
P.S.Пишите $\[{C_V}\]$ нормально ($\[V\]$ - индекс, а то у вас получается $\[C \cdot v\]$, это что, ёмкость умноженная на скорость ?)

[Pphantom]

gugr в сообщении #942742 писал(а):

Получается, что стремящийся к бесконечности объем приводит второе слагаемое к бесконечно малому значению, и оно никак не влияет. Верно?

Верно. Причем догадаться об этом можно было и без формул: газ ВдВ отличается от идеального, во-первых, взаимодействием между частицами (которое при бесконечном расширении, очевидно, становится пренебрежимо малым), во-вторых, конечными размерами частиц (которые при бесконечном расширении также становятся пренебрежимо малыми по сравнению с размерами системы).

[gugr]

Ms-dos4 в сообщении #942752 писал(а):

А зачем находить. В задаче от вас хотят $\[\Delta T = {T_2} - {T_1}\]$
P.S.Пишите $\[{C_V}\]$ нормально ($\[V\]$ - индекс, а то у вас получается $\[C \cdot v\]$, это что, ёмкость умноженная на скорость ?)

Учту замечание:)
Посчитал, но с ответом не сходится... У азота, как у двухатомного газа, кол-во степеней свободы равно 5? А правильный ответ получается при кол-ве степеней свободы равное 3... Но ведь в колбе двухатомный газ!

[Ms-dos4]

gugr
Приведите пожалуйста расчёты и ответ в задачнике. Вообще говоря да, если не учитывать колебательные степени свободы (они тут подразумеваются вымороженными) их действительно пять. У меня получилось $\[\Delta T \approx - 4[K]\]$

[gugr]

Ms-dos4 в сообщении #942765 писал(а):

gugr
Приведите пожалуйста расчёты и ответ в задачнике. Вообще говоря да, если не учитывать колебательные степени свободы (они тут подразумеваются вымороженными) их действительно пять. У меня получилось $\[\Delta T \approx - 4[K]\]$

В самом задачнике решения нет, а ответ указан -6.6 К

[Ms-dos4]

gugr
Объяснений два.
1)В задачнике ошибка
2)Вероятно, температура газа была настолько низка, что выморожены были даже вращательные степени свободы. Скорее всего это ваш случай, но тогда авторы задачника хотя бы указали порядки начальных температур. Если это десятки кельвинов - возможно они и "вымерзают".

[Munin]

Ms-dos4
Pphantom

(Оффтоп)

В таких задачах есть один нюанс, который я недавно обнаружил, и считаю, что авторы не совсем корректны. В классических книжках по термодинамике сформулировано очень аккуратно: там берут баллон с газом, проделывают в нём маленькую дырочку (желательно меньше длины свободного пробега), и позволяют газу просачиваться через неё в вакуум. Тогда всё получается аккуратно. Но если "лопнуть колбу", то всё не так. Газ не сразу начнёт весь расширяться безстолкновительно, во всём своём объёме. Даже если мысленно попросту "исчезнуть" твёрдые стенки, которые его сдерживали, то никуда не денутся внешние части газа, которые сдерживают внутренние части газа от расширения, играют роль стенок. Поэтому, поначалу процессы в таком газе будут макроскопически-гидродинамические, за исключением некоторого внешнего слоя, который достиг бесстолкновительной плотности, и продолжает расширяться. А какие это процессы? Адиабатическое расширение. Так что, некоторое время в некоторой части газа будет понижаться температура, но при этом будет поддерживаться равнораспределение энергии по степеням свободы. Равно "охлаждаться" будут и поступательные, и вращательные степени свободы, и межмолекулярные вандерваальсовские (потенциальная энергия сил притяжения). Нельзя сказать, что распределение энергии между ними сразу "заморозится". Вот такие мысли...

Разумеется, рассчитать это всё сложно, и я даже не до конца понимаю, как. Можно, конечно, положиться на кинетическое уравнение, но его ещё поди реши.

[Pphantom]

Munin в сообщении #942809 писал(а):

В таких задачах есть один нюанс, который я недавно обнаружил, и считаю, что авторы не совсем корректны.

Да, это верно.

Munin в сообщении #942809 писал(а):

Разумеется, рассчитать это всё сложно, и я даже не до конца понимаю, как. Можно, конечно, положиться на кинетическое уравнение, но его ещё поди реши.

Если не ошибаюсь, решение было в талмуде Станюковича. Если не забуду, посмотрю завтра на работе.