А что если четырехмерное пространство...?

[Sergey12]

Sicker
Физика

[Sicker]

А конкретно?

[Maximpg]

Давайте попробуем поиграться с двумя временными и одним, как тут предлагалось, пространственным. Время тогда вектор $\mathbf{t}$ с компонентами $\eta$ и $\xi$. Варьируем $x$, фиксируя его во всех точках с $\eta_1$ и $\eta_2$, $\xi_1$ и $\xi_2$:

$$\int d \eta \, d\xi\left(\frac{\partial L}{\partial q}\delta q+\frac{\partial L}{\partial \dot q_{\eta}}\delta\dot q_{\eta}+\frac{\partial L}{\partial \dot q_{\xi}}\delta\dot q_{\xi}\right)=0,$$

где точка, конечно - производная по компоненте времени, отраженной в индексе.
Далее берется по частям и, с учетом граничных условий, имеем вполне себе уравнения Эйлера-Лагранжа:

$$\frac{\partial L}{\partial q}=\frac{d}{d\eta}\frac{\partial L}{\partial \dot q_{\eta}}+\frac{d}{d\xi}\frac{\partial L}{\partial \dot q_{\xi}}.$$

Берем теперь вполне логичный ansatz для свободного лагранжиана частицы $L=\dot x_{\eta}^2+\dot x_{\xi}^2$ и внезапно получаем

$$\nabla^2 x=0.$$

Уравнение Лапласа, т.е. краевая задача.
Для большего числа пространственных компонент то же самое, только для каждой координаты отдельно. Любопытно было бы посмотреть на более общий вид механики в такой системе, или даже прикинуть, имеет ли смысл аналог интеграла по путям в таком случае.

[Red_Herring]

Maximpg
Хотя на первый взгляд стройно, но дальше—малоосмысленно. У Вас не двумерное время а две отдельных временных переменных (по крайней мере в определении действия: посмотрите на область интегрирования в Вашем интеграле.

Впрочем, это, скорее всего, наилучшее что можно сделать.

[ivvan]

Red_Herring в сообщении #941309 писал(а):

посмотрите на область интегрирования в Вашем интеграле.

А что там за область интегрирования?

[Munin]

Red_Herring в сообщении #941309 писал(а):

У Вас не двумерное время а две отдельных временных переменных (по крайней мере в определении действия: посмотрите на область интегрирования в Вашем интеграле.

Я тоже не понял, в чём здесь состоит возражение.

[Red_Herring]

Ну вот записан интеграл. По какой области? В одноименном случае все ясно: от $t_0$ до $t$ ($q(t_0)$ и $q(t)$ заданы как начало и конец траектории). А вот в двухмерном случае? По прямоугольнику от $(\xi_0,\eta_0)$ до $(\xi,\eta)$? Или как? Т.е. хотя уравнения не меняются при повороте, действие $S$ уже явно зависит от системы временных координат.

Ну а дальше вообще полный апофигей: если у нас $n$ пространственных переменных, то будет $2 \times n$ компонент скорости, соответственно столько же импульса и хотя можно выписать гамильтониан, good luck after this.

Ну а если писать волновое уравнение с 2мя временными и, $n\ge 2$ пространственными то получится ультрагиперболическое уравнение (я знаю про них мало, и они плохо исследованы)

[Munin]

Red_Herring в сообщении #941579 писал(а):

Ну вот записан интеграл. По какой области?

А по какой-то. В простейшем случае можно рассмотреть прямоугольник. Но если мы будем добиваться релятивистской инвариантности теории - то должны согласиться с любой областью.

Ситуация такая же, как в теории поля, когда сначала рассматривают $\int\mathcal{L}\,dx\,dy\,dz\,dt$ в каком-то прямоугольнике, а потом - в произвольной области. По сути, уравнения теории от этого не меняются, а просто расширяется число возможных постановок задач.

Советую почитать:
Медведев. Начала теоретической физики. Часть 2, § 7 "Лагранжев формализм для поля".

[Red_Herring]

Munin в сообщении #941592 писал(а):

А по какой-то.

Лагранжевы уравнения не изменятся, а определение действия зависит от области!

[Munin]

В каком смысле зависит? Разве что, как я сказал, если взять более широкое множество областей, расширится и определение действия.

[Maximpg]

Можно варьировать сразу по всему пространству-времени, как в теории поля, действительно. А прямоугольник выбирается из удобства, и варьируется по нему явно без умаления общности.

[Munin]

Maximpg в сообщении #941685 писал(а):

Можно варьировать сразу по всему пространству-времени, как в теории поля, действительно.

Ну, в Ландау-Лифшице осторожно предлагается взять слой пространства-времени между двумя конечными временами, но без пространственных границ. Я не нашёл, где делается обобщение (может, лениво искал). Если брать по всему пространству-времени, то возникают сложности с заданием граничных условий на бесконечности - их всё равно приходится оговаривать (если использовать границы конечные по времени и бесконечные по пространству - то можно не оговаривать, лишь бы задача вообще была корректной).

[Maximpg]

Munin, почему бы не взять для вариации поля (само варьируемое, вообще говоря, расходится, но нас это может и не смущать, эка невидаль):

$$\delta S=\delta\int d^d \mathcal{L}(\phi,\,\partial_{\mu}\phi)$$

по всему пространству с последующим сужением класса вариаций $\delta \phi$ на достаточно хорошо убывающие в бесконечности (например, и пространственной, и временной, или слабее, лишь бы было определено).

[Red_Herring]

Munin в сообщении #941646 писал(а):

В каком смысле зависит?

$$ S=S(\Omega)=\iint _\Omega \mathcal{L}(q(\mathbf{t},\partial{q}\mathbf{t}, \mathbf{t})\,d\mathbf{t} $$

где $\mathbf{t}$ элемент площади.

Это полбеды, плотность $S$ определена? Уравнения Лагранжа от области не зависят?—Ну и ладушки. Но дальше начинается ерунда с импульсом, а потом с уравнением Гамильтона—Якоби.

Я критикую не решение Maximpg, которое, вероятно, наилучшее из возможных, а задачу, которая скорее всего хорошего решения не имеет.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #941750 писал(а):

Это полбеды, плотность $S$ определена? Уравнения Лагранжа от области не зависят?—Ну и ладушки. Но дальше начинается ерунда с импульсом, а потом с уравнением Гамильтона—Якоби.

Ну да, не то чтобы ерунда, но надо поковыряться, и очевидно, результат получится сильно непохожий на нечто обычное. Так что можно, как задачу-минимум, сказать, что мы разрабатываем лагранжев формализм, а на гамильтонов не замахиваемся.

От балды, я бы сказал так: в ситуации с $k$ "временными осями" в "гамильтоновом формализме" каждой обобщённой координате $q$ будет соответствовать сразу $k$ обобщённых импульсов $p_1,\ldots,p_k.$

Red_Herring в сообщении #941750 писал(а):

Я критикую не решение Maximpg, которое, вероятно, наилучшее из возможных, а задачу, которая скорее всего хорошего решения не имеет.

Такие задачи имеют обычно не единственное решение, но нельзя сказать, что какие-то из них хорошие или нехорошие. Поскольку все они - чисто теоретические модельки, то их можно оценивать как интересные или неинтересные. Для дальнейшего анализа, для наличия содержательных решений и вообще богатой внутренней структуры, для проведения аналогий, и т. п.

Вообще, загляните всё-таки в Медведева. Мне кажется, там есть куда развернуть и гамильтонов формализм.