2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пружина
Сообщение02.12.2014, 16:46 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
В не нагруженном состоянии пружина однородна. Её жёсткость $k$.
Затем на неё одновременно начинают действовать две силы: $f_1$ слева, и $f_2$ справа.
Любые другие внешние силы отсутствуют. Колебаний нет.
Найти потенциальную энергию деформаций пружины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пружина
Сообщение02.12.2014, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4265
Как-то не очень понятно, что здесь "олимпиадного".
Ну, $F^2/2k$, где F есть минимальная из величин $F_1$, $F_2$.
В чём фишка-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пружина
Сообщение02.12.2014, 22:39 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Mihr, чтобы ознакомиться с кругом идей, посмотрите задачу из олимпиады в Тбилиси-72; она тут бурно обсуждается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пружина
Сообщение03.12.2014, 08:09 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Разбиваем ненагруженную пружину на большое число одинаковых частей, суммируем потенциальные энергии этих частей при нагрузке, в результате получим:$$E_p=\dfrac {f_1^2+f_1f_2+f_2^2}{6k}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пружина
Сообщение03.12.2014, 10:20 


01/12/11

1047
dovlato, зачем вы создали новую тему? Сбежали от неудобных вопросов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пружина
Сообщение03.12.2014, 16:39 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Skeptic, я отвечаю на те вопросы, в которых вижу физический смысл. И, кр. того, если имею что сказать, на мой взгляд, интересного.
Вообще давайте придерживаться скучных норм общения. Я ж ведь не говорю всего того, что я думаю о содержательности иных выступлений.
Пример содержательного, хоть и сверхлаконичного сообщения - это ответ mihiv.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пружина
Сообщение03.12.2014, 18:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Skeptic в сообщении #939448 писал(а):
dovlato, зачем вы создали новую тему? Сбежали от неудобных вопросов?

Видимо, от ваших "неудобных" (ошибочных) ответов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пружина
Сообщение03.12.2014, 21:57 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Хочу прокомментировать формулу, приведенную mihiv. У меня в аналогичной формуле произведение $f_1f_2$ входит не с плюсом,
а с минусом. Но у меня за положительное направление для обеих сил выбрано одинаковое. Очевидно, у mihiv для каждой силы
положительное направление выбрано своё - от пружины. В общем, дело вкуса и настроения, надо лишь аккуратно с ними работать.
Я как-то задался вопросом: что будет, если на оба конца пружины действуют две одинаково направленные силы?
Нейтральная линия в этой пружины разделит её на два куска одинаковой массы. Один кусок при этом сжат, а другой - ровно на столько же растянут,
так что общая длина пружины не изменится. В ф-ле mihiv следует положить $f_2=-f_1$; получим$$E=\frac{f_1^2}{6k}$$
Другой пример - пружину подвешивают за верхний конец (либо наоборот, ставят на нижний).
В этом случае $f_2=0$, и энергия деформации оказывается ровно такой же. Кстати, а насколько при этом уменьшится общая потенциальная энергия,
включая энергию в поле тяготения - не знаю. Просто не пытался проанализировать.
Наконец, если соединить $n$ одинаковых пружин, то при параллельном соединении энергия деформации уменьшается в $n$ раз, а при последовательном -
в $n$ раз вырастет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пружина
Сообщение04.12.2014, 22:35 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
dovlato в сообщении #939869 писал(а):
Другой пример - пружину подвешивают за верхний конец (либо наоборот, ставят на нижний).
В этом случае $f_2=0$, и энергия деформации оказывается ровно такой же. Кстати, а насколько при этом уменьшится общая потенциальная энергия,
включая энергию в поле тяготения - не знаю. Просто не пытался проанализировать.

Пусть в ненагруженном состоянии длина пружины $l$, направим ось $x$ вертикально вверх и сначала предположим, что силы тяжести нет. Пусть координата закрепленного конца равна $\frac l2$, а координата свободного конца $-\frac l2$. Теперь включим силу тяжести (в отрицательном направлении оси x). При этом точка пружины с координатой $x$ перейдет в точку с координатой $x+s(x)$. Полная потенциальная энергия пружины (упругости и в поле тяжести ) будет равна: $$E=\int \limits _{-\dfrac {l}2}^{\dfrac l2}[\dfrac {kl}2(s')^2+\rho g(x+s)]dx,\qquad (1)$$где $\rho =\dfrac ml$- линейная плотность пружины, $g$ - ускорение свободного падения.
Теперь очевидно, что деформацию пружины можно найти, минимизируя полную энергию (1) при условиях: $s(\dfrac l2)=0$ - закрепленный конец, $s'(-\dfrac l2)=0$ - свободный конец.
Уравнение Эйлера имеет вид:$$s''=\dfrac {\rho g}{kl}$$
К вариационной задаче можно перейти и в том случае, когда силы действуют на оба конца пружины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пружина
Сообщение06.12.2014, 16:00 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Я проделал вычисления по результату mihiv, получил в конце концов$$E=-\dfrac{(mg)^2}{6k}$$ Перепроверять уже не стал - ладно хотя бы отрицательная, как и должно быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пружина
Сообщение07.12.2014, 15:16 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
dovlato в сообщении #941221 писал(а):
получил в конце концов$$E=-\dfrac{(mg)^2}{6k}$$

У меня такой же ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пружина
Сообщение08.12.2014, 22:41 


10/09/14
292
dovlato в сообщении #939172 писал(а):
В не нагруженном состоянии пружина однородна. Её жёсткость $k$.
Затем на неё одновременно начинают действовать две силы: $f_1$ слева, и $f_2$ справа.
Любые другие внешние силы отсутствуют. Колебаний нет.
Найти потенциальную энергию деформаций пружины.

Надо уточнить, что если мы хотим, чтобы $f_1\neq{f_2}$, то пружина будет двигаться ускоренно (как в Тбилисской задачи), в покое невозможно приложить к пружине разные силы, даже если например расположить пружину горизонтально, а к её конца через блоки подвесить разные грузы, то пружина "усреднит силу", т.е. результирующая будет $f_{\text{рез}}=(f_1+f_2)/2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пружина
Сообщение08.12.2014, 23:38 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Условие задачи не накладывает ограничений на то, движется она или нет. Сказано ровно то, что необходимо.
Но если пружина находится в однородном поле гравитации, то она может оставаться неподвижной при неравных силах.
Тот самый принцип эквивалентности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пружина
Сообщение09.12.2014, 21:56 


10/09/14
292
dovlato в сообщении #942744 писал(а):
Но если пружина находится в однородном поле гравитации, то она может оставаться неподвижной при неравных силах.

Что-то не очень понимаю. Надо наверно сделать оговорку , что в данном случае мы рассматриваем пружину с массой, которой уже нельзя пренебречь, и если такую пружину например поставить на стол, то на нижний её конец будет действовать сила реакции опоры, численно равная весу пружины, а сверху на неё будет действовать сила равная весу условно верхнего витка, но его можно уменьшать в пределе до бесконечно малой величины. Вы это имели ввиду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пружина
Сообщение11.12.2014, 16:01 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Имел в виду ровно то, что написал. На концы пружины действуют внешние силы $f_1$ и $f_2$.
А сама пружина имеет массу, причём её линейная плотность постоянна по всей длине. Так же, как в тбилисской задаче.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group