правильно ли считаю условную вероятность?

[rahmatjon]

Рассмотрим вопрос об оценке вероятности причин дефектов в производстве деталей некоторыми станками.

Предполагается, что известны числа $n_j, m_j, j=1,...,k$, где

$k$ – общее количество станков,

$n_j$ - общее количество деталей, обработанных станком $j$,

$m_j$ - количество дефектных деталей, выданных станком $j$.

Предполагается, что $n_j > 0$, $j=1,...,k$.

Введем следующие обозначения:

$n = n_1 + ... + n_k$ - общее количество деталей,

$m = m_1 + ... + m_k$ - общее количество дефектных деталей,

$\frac{m}{n}$ - итоговая доля дефектных деталей,

$\frac{m_j}{n_j}$ - доля дефектных деталей, выданных станком $j$.

Рассмотрим следующие случайные события:

$A$ - наугад выбираемая деталь из обработанных окажется дефектной;

$B_j$ - наугад выбираемая деталь, обрабатывалась станком $j$, $j=1,...,k$.

Все причины дефектов разделены на взаимоисключающие типы - события $C_1, C_2, ..., C_l$, где $l$ – общее количество типов. Таким образом, дефект в детали случается тогда и только тогда, когда происходит одно из событий $C_i, i = 1, ..., l$.

Вычисления вероятностей будем производить в соответствии с классическим определением вероятности.

Каждая деталь обрабатывается только одним станком. Следовательно, события $B_j$, $j=1,...,k$, попарно независимы и их объединение $B_1 \cup ... \cup B_k$ является достоверным событием.

Пусть $c_{i,j}$ – количество дефектов на станке $j$ по причине $C_i, i = 1, ..., l$, то есть в случае события $C_i \cap B_j$. Тогда для количества дефектных деталей $m_j$ на станке $j$ имеет место

$m_j = c_{1,j} + ... + c_{l,j}, \quad \forall j=1,...,k$.

Вероятность $P((C_i \cap B_j) | A)$ того, что случайно выбранная деталь оказалась дефектной по причине возникновения события $C_i$ на станке $j$, равна

(1) $\quad P((C_i \cap B_j) | A) = \frac{P(C_i \cap B_j) \cdot P(A | (C_i \cap B_j))}{P(C_1 \cap B_j) \cdot P(A | (C_1 \cap B_j)) + ... + P(C_l \cap B_j) \cdot P(A | (C_l \cap B_j))}$

В этом случае имеем

(2) $\quad P(C_i \cap B_j) = P(C_i | B_j)P(B_j) = \frac{c_{i,j}}{n_j} \cdot \frac{n_{j}}{n} = \frac{c_{i,j}}{n}$ - доля дефектных деталей по причине $C_i$ на станке $j$,

(3) $\quad P(A | (C_i \cap B_j)) = 1$ - вероятность того, что деталь окажется дефектной, если она обрабатывалась на станке $j$ и на этом станке произошло событие $C_i$.

Подставим (2), (3) в (1):

$$P((C_i \cap B_j) | A) = \frac{\frac{c_{i,j}}{n}\cdot 1}{\frac{c_{1,j}}{n}\cdot 1 + ... + \frac{c_{l,j}}{n}\cdot 1} = \frac{\frac{c_{i,j}}{n}}{\frac{c_{1,j}}{n} + ... + \frac{c_{l,j}}{n}} = \frac{\frac{c_{i,j}}{n}}{\frac{m_j}{n}} = \frac{c_{i,j}}{m_j}$$

Получаем следующую формулу для вычисления условной вероятности того, что случайно выбранная деталь оказалась дефектной по причине возникновения события $C_i$ на станке $j$:

$$P((C_i \cap B_j) | A) = \frac{c_{i,j}}{m_j} $$

[Joe Black]

В чём вопрос?

[Otta]

rahmatjon
Сформулируйте, пожалуйста, явно, что же требовалось найти в задаче.

[rahmatjon]

Otta
Формула

$$P((C_i \cap B_j) | A) = \frac{c_{i,j}}{m_j} $$

правильная?
Нужно найти формулу для вычисления условной вероятности того, что случайно выбранная деталь оказалась дефектной по причине возникновения события $C_i$ на станке $j$.

[--mS--]

rahmatjon в сообщении #938191 писал(а):

Каждая деталь обрабатывается только одним станком. Следовательно, события $B_j$, $j=1,...,k$, попарно независимы и их объединение $B_1 \cup ... \cup B_k$ является достоверным событием.

Вы ничего не перепутали? Эти события зависимы уже тем, что взаимоисключающие.

rahmatjon в сообщении #938191 писал(а):

Вероятность $P((C_i \cap B_j) | A)$ того, что случайно выбранная деталь оказалась дефектной по причине возникновения события $C_i$ на станке $j$, равна

Это совсем не вероятность того, что "случайно выбранная деталь оказалась дефектной по причине возникновения события $C_i$ на станке $j$". Это будет $\mathsf P(A|C_iB_j)$. А выше - вероятность того, что деталь, оказавшаяся дефектной, изготовлена на станке $j$ и с ней случилось событие $C_i$. И вообще, стоит говорить на языке "если - то", как в обозначении для условной вероятности и написано.

[rahmatjon]

--mS--, я переформулировал исходную задачу, которая меня интересует. Думал, так станет и себе и другим проще. Не получилось.
Ниже оригинал.

Рассматривается вопрос об оценке вероятности причин дефектов в телефонных звонках абонентов сотовой связи при функционировании базовых приемопередающих станций (БППС) в определенный конечный промежуток времени.

Предполагается, что известны числа $n_j, m_j, j=1,...,k$, где

$k$ – общее количество БППС в сети оператора,

$n_j$ - общее количество звонков поступивших в $j$-ю станцию,

$m_j$ - количество дефектных звонков среди поступивших в $j$-ю станцию.

Предполагается, что $n_j > 0$, $j=1,...,k$.

Введем следующие обозначения:

$n = n_1 + ... + n_k$ - тотальное количество звонков,

$m = m_1 + ... + m_k$ - тотальное количество дефектных звонков,

$\frac{m}{n}$ - тотальная доля дефектных звонков,

$\frac{m_j}{n_j}$ - доля дефектных звонков при обслуживании $j$-ой станцией.

Рассмотрим следующие случайные события:

$A$ - наугад выбираемый звонок из поступивших окажется дефектным;

$B_j$ - наугад выбираемый звонок из поступивших обслуживался $j$-ой станцией, $j=1,...,k$.

Каждый звонок (входящий или исходящий) в каждый момент времени обслуживается одной станцией. Следовательно, события $B_j$, $j=1,...,k$ образуют полную систему несовместных событий . Правильно?

Все причины дефектов разделены на взаимоисключающие типы - события $C_1, C_2, ..., C_l$, где $l$ – общее количество типов. Таким образом, дефектный звонок случается тогда и только тогда, когда происходит одно из событий $C_i, i = 1, ..., l$. Следовательно, события $C_i$, $i=1,...,l$ образуют полную систему несовместных событий . Правильно?

Пусть $c_{i,j}$ – количество дефектов на $j$-й БППС по причине $C_i, i = 1, ..., l$, то есть в случае события $C_i \cap B_j$. Тогда для количества дефектных звонков $m_j$ на $j$-й БППС имеет место

$m_j = c_{1,j} + ... + c_{l,j}, \quad \forall j=1,...,k$.

Вычисления вероятностей будем производить в соответствии с классическим определением вероятности.

I. Cогласно формуле Байеса, условная вероятность $P(B_j|A)$ - вероятность обслуживания дефектного звонка $j$-ой станцией вычисляется по формуле:

$$\quad P(B_j | A) = \frac{P(B_j) \cdot P(A | B_j)}{P(B_j) \cdot P(A | B_j) + ... + P(B_j) \cdot P(A | B_j)}$$

Правильно?

II. Cогласно формуле Байеса, условная вероятность $P(C_i|A)$ - вероятность того, что случайно выбранный звонок оказался дефектным по причине $C_i$ вычисляется по формуле:

$$\quad P(C_i | A) = \frac{P(C_i) \cdot P(A | C_i)}{P(C_i) \cdot P(A | C_i) + ... + P(C_i) \cdot P(A | C_i)}$$

Правильно?

III. Вероятность $P((C_i \cap B_j) | A)$ того, что случайно выбранный звонок оказался дефектным по причине возникновения события $C_i$ на $j$-й БППС, равна

(1) $\quad P((C_i \cap B_j) | A) = \frac{P(C_i \cap B_j) \cdot P(A | (C_i \cap B_j))}{P(C_1 \cap B_j) \cdot P(A | (C_1 \cap B_j)) + ... + P(C_l \cap B_j) \cdot P(A | (C_l \cap B_j))}$
Правильно?

В этом случае имеем

(2) $\quad P(C_i \cap B_j) = P(C_i | B_j)P(B_j) = \frac{c_{i,j}}{n_j} \cdot \frac{n_{j}}{n} = \frac{c_{i,j}}{n}$ - доля дефектных звонков по причине $C_i$ на $j$-й БППС,

(3) $\quad P(A | (C_i \cap B_j)) = 1$ - вероятность того, что звонок окажется дефектным, если звонок должен обслуживаться $j$-й БППС и на ней произошло событие $C_i$.

Подставим (2), (3) в (1):

$$P((C_i \cap B_j) | A) = \frac{\frac{c_{i,j}}{n}\cdot 1}{\frac{c_{1,j}}{n}\cdot 1 + ... + \frac{c_{l,j}}{n}\cdot 1} = \frac{\frac{c_{i,j}}{n}}{\frac{c_{1,j}}{n} + ... + \frac{c_{l,j}}{n}} = \frac{\frac{c_{i,j}}{n}}{\frac{m_j}{n}} = \frac{c_{i,j}}{m_j}$$

Получаем следующую формулу для вычисления условной вероятности того, что случайно выбранный звонок оказался дефектным по причине возникновения события $C_i$ на $j$-й БППС:

$$P((C_i \cap B_j) | A) = \frac{c_{i,j}}{m_j} $$

Правильно?

[grizzly]

Вам точно нужно столько Байесов? Это модно, но зачастую сложнее наглядных рассуждений.

Отвечу пока только по последнему вопросу: вывод не проходит проверку на правдоподобие (у Вас там вероятность соответствия дефектного звонка конкретной станции не зависит от общего количества и распределения дефектных звонков). Я подозреваю, что ошибка вышла по следующей причине:

rahmatjon в сообщении #938659 писал(а):

Получаем следующую формулу для вычисления условной вероятности того, что случайно выбранный звонок оказался дефектным по причине...

1) Либо Вы хотели сказать "случайно выбранный дефектный звонок оказался дефектным по причине...". В этом случае Вам изначально проще рассматривать пространство событий с одними только дефектными звонками и это в разы упростит решение.
2) Либо Вы сказали то, что хотели, тогда условная вероятность в последней формуле тем более не к месту.
(Только сейчас сообразил, что на эту проблему Вам уже указывали раньше. Ну, может, другими словами станет понятнее.)

А ещё у меня вопрос неспециалиста: а если один звонок дефектный и на выходе и на входе, это разве не добавляет зависимости каких-то событий?

[rahmatjon]

grizzly в сообщении #938708 писал(а):

...
1) Либо Вы хотели сказать "случайно выбранный дефектный звонок оказался дефектным по причине...". В этом случае Вам изначально проще рассматривать пространство событий с одними только дефектными звонками и это в разы упростит решение.
2) Либо Вы сказали то, что хотели, тогда условная вероятность в последней формуле тем более не к месту.
(Только сейчас сообразил, что на эту проблему Вам уже указывали раньше. Ну, может, другими словами станет понятнее.)
...

grizzly, как думаете, рассуждения 1)-2) ниже правильные?

1) оценка $\frac{c_{i,j}}{m_j}$ соответствует вероятности того, что дефектный звонок, случившийся на $j$-ой станции случился из-за события $C_i$ на этой станции. Так как $m_j$ - общее количество дефектных звонков на $j$-ой станции, а $c_{i,j}$ - количество дефектных звонков на этой станции по причине $C_i$.

2) вероятность того, что любой звонок будет дефектным по причине события $C_i$ на $j$-ой станции вычисляется по формуле

$$P = \frac{c_{i,j}}{n_j} \cdot \frac{n_j}{n} = \frac{c_{i,j}}{n}$$

здесь $\frac{n_j}{n}$ - вероятность того, что звонок будет обслужен $j$-ой станцией;
$\frac{c_{i,j}}{n_j}$ - вероятность того, что во время этого звонка случится событие (авария) $C_i$.

Теперь по использования формулы Байеса.
Первые два раза - это типа разминки. Чтобы и себе и другим показать, что я пользуюсь этой формулой правильно.

Но третье применение - "боевое". Снимается статистика за некоторый период (прошедший день, месяц или год) и нужно оценить вероятность того, что наугад выбранный звонок был дефектным из-того, что он обслуживался станцией №$j$ и в это время там произошло событие $C_i$.
Но получаемая оценка $\frac{c_{i,j}}{n_j}$ какая-то неправильная. Где я ошибаюсь?

А "проверка на правдоподобие" - это какой-то специальный тест?

[grizzly]

1) Верно.
2) Верно, но промежуточная формула в равенстве не нужна. У Вас все рассматриваемые события независимы. Значит, общее пространство событий -- $n$, а искомых событий $c_{i,j}$. Делим второе на первое и всё правильно.

rahmatjon в сообщении #938728 писал(а):

нужно оценить вероятность того, что наугад выбранный звонок был дефектным из-того, что он обслуживался станцией №$j$ и в это время там произошло событие $C_i$.
Но получаемая оценка $\frac{c_{i,j}}{n_j}$ какая-то неправильная. Где я ошибаюсь?

Дело в том, что Ваше "боевое применение" сформулировано абсолютно точно как п.2) -- с какой вероятностью любой звонок дефектен там-то из-за того-то. И решение / ответ там должны быть такими же -- $\frac{c_{i,j}}{n}$. Здесь вообще нет никаких дополнительных сложностей. Если Вы хотели "боевое применение" сформулировать иначе, то об этом Вас все и спрашивают здесь :)

rahmatjon в сообщении #938728 писал(а):

А "проверка на правдоподобие" - это какой-то специальный тест?

Да :) Ещё называют "здравым" или "критическим мышлением". Нужно просто подвергнуть свои выводы / гипотезы сомнениям, взяв в рассмотрение хоть какие-то крайние случаи (я брал миллион всех дефектных звонков, $m_j = 1$ звонок, $c_{1,j}=1$; получилось подозрительно).

[Удалено]

[rahmatjon]

grizzly в сообщении #938708 писал(а):

... а если один звонок дефектный и на выходе и на входе, это разве не добавляет зависимости каких-то событий?

Объясните, пожалуйста, что Вы имеете в виду под "один звонок дефектный и на выходе и на входе"?
Если это означает провал до первого гудка (call failure) или обрыв звонка до отбоя (call drop), то сработают различные счетчики и будем считать, что причины разные. (Специалистов прошу простить)
Если имеете в виду, что у каждого звонка есть вызывающий (caller) и вызываемый (callee) и каждый из них может обслуживаться, вообще говоря, различными станциями, то выразить это математическими формулами для меня сложно (читай, не умею). Пока работаю с определенными допущениями и упущениями.

[grizzly]

Спасибо, любопытство удовлетворено :)

-- 01.12.2014, 15:27 --

Здесь есть ещё один нетривиальный, возможно, вопрос. Мы же строим мат.модель для какой-то задачи. И пока Вы не объяснили суть задачи, для которой эта модель строится, все эти проверки формул были лишними.

Если, например, задача в том, что мы хотим прогнозировать в будущем вероятности возникновения дефектов на разных станциях (для распределения персонала, например, или средств на ремонты), тогда ключевой момент: можем ли мы считать, что наша статистика распределения звонков между станциями имеет сколько-то постоянный характер. То есть, что $n_j/n$ -- вероятность того, что следующий звонок будет на станцию $j$? И тот же вопрос относительно прогнозируемой вероятности дефектов. Если оба ответа "да", то составленная модель пригодна, я думаю. Если нет, то я ничего хорошего не могу сказать о возможности построения какой-нибудь мат.модели для такой ситуации.

[rahmatjon]

grizzly в сообщении #938736 писал(а):

... я брал миллион всех дефектных звонков, $m_j = 1$ звонок, $c_{1,j}=1$; получилось подозрительно.

Именно по этой причине и я начал эту тему.
Спасибо за ответы.
Прочитаю, сделаю выводы и, возможно, напишу еще. :)

-- 01.12.2014, 16:03 --

grizzly в сообщении #938739 писал(а):

можем ли мы считать, что наша статистика распределения звонков между станциями имеет сколько-то постоянный характер. То есть, что $n_j/n$ -- вероятность того, что следующий звонок будет на станцию $j$?

Если я Вас правильно понял, то вопрос о постоянстве относится не только к $n_j/n$, но и ко всем другим вероятностям (долям, отношениям).
Попробую ответить так. Все зависит от глубины (степени) детализации (granularity). Если брать данные за каждый час и сравнивать, то колебания будут огромными. Например, трудно сравнивать качество за 4 часа утра, когда мало звонков и станции разгружены, и 8 часов вечера, когда много звонков и многие станции перегружены. Но если суммировать данные за 24 часа, то есть брать ежесуточные средние, то многие показатели стабилизируются и вырисовываются средние значения и диапазоны колебаний (стандартные отклонения).
Периодами могут быть недели, месяцы, а год - уже сама генеральная совокупность. :)
Кстати, тот факт, что доли начинают стабилизироваться по мере увеличения диапазона выборки, объясняется законом больших чисел или центральной предельной теоремой?

[grizzly]

Спасибо за разъяснения. В таком случае может быть полезно посмотреть отдельно всю статистику разделённую с учётом времени суток или сезонности. Вполне возможно, что распределение вероятностей ошибок по типам будет критично разным при высокой / низкой нагрузке или при холодной / жаркой погоде. В зависимости от целей Вашей задачи может быть эффективнее учитывать летом летние, а зимой -- зимние $c_{i,j}$ (аналогично утренние / вечерние). Но здесь все карты Вам в руки, я уже просто умничаю :)

rahmatjon в сообщении #938742 писал(а):

Кстати, тот факт, что доли начинают стабилизироваться по мере увеличения диапазона выборки, объясняется законом больших чисел или центральной предельной теоремой?

Закон больших чисел, я полагаю.

[rahmatjon]

Здравствуйте!
Правильно ли я подсчитал вероятности I, II, III, IV и V?
Подробности ниже.

Рассматривается вопрос об оценке вероятности причин дефектов в телефонных звонках абонентов сотовой связи при функционировании базовых приемопередающих станций (БППС) в определенный конечный промежуток времени.

Предполагается, что известны числа $n_j, m_j, j=1,...,k$, где

$k$ – общее количество БППС в сети оператора,

$n_j$ - общее количество звонков поступивших в $j$-ю станцию,

$m_j$ - количество дефектных звонков среди поступивших в $j$-ю станцию.

Предполагается, что $n_j > 0$, $j=1,...,k$.

Введем следующие обозначения:

$n = n_1 + ... + n_k$ - тотальное количество звонков,

$m = m_1 + ... + m_k$ - тотальное количество дефектных звонков,

$\frac{m}{n}$ - тотальная доля дефектных звонков,

$\frac{m_j}{n_j}$ - доля дефектных звонков при обслуживании $j$-ой станцией.

Рассмотрим следующие случайные события:

$A$ - наугад выбираемый звонок из поступивших окажется дефектным;

$B_j$ - наугад выбираемый звонок из поступивших обслуживался $j$-ой станцией, $j=1,...,k$.

Каждый звонок (входящий или исходящий) в каждый момент времени обслуживается одной станцией. Следовательно, события $B_j$, $j=1,...,k$ образуют полную систему несовместных событий.

Все причины дефектов разделены на взаимоисключающие типы - события $C_1, C_2, ..., C_l$, где $l$ – общее количество типов. Таким образом, дефектный звонок случается тогда и только тогда, когда происходит одно из событий $C_i, i = 1, ..., l$. Следовательно, события $C_i$, $i=1,...,l$ образуют полную систему несовместных событий.

Пусть $c_{i,j}$ – количество дефектов на $j$-й БППС по причине $C_i, i = 1, ..., l$, то есть в случае события $C_i \cap B_j$. Тогда для количества дефектных звонков $m_j$ на $j$-й БППС имеет место

$m_j = c_{1,j} + ... + c_{l,j}, \quad \forall j=1,...,k$.

Отсюда тотальное количество дефектных звонков равно

$$m = m_1 + ... + m_k = \sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{k}c_{i,j}$$

Вычисления вероятностей будем производить в соответствии с классическим определением вероятности.

I. Имея в виду, что

$P(B_j) = \frac{n_j}{n}$ - вероятность того, что звонок будет обслужен $j$-ой станцией (доля звонков, обслуживаемых $j$-ой станцией)

и

$P(A | B_j) = \frac{m_j}{n_j}$ - вероятность того, что обслуженный $j$-ой станцией звонок будет дефектным (доля дефектных звонков при обслуживании $j$-ой станцией),

согласно формуле Байеса, условная вероятность $P(B_j|A)$ вычисляется по формуле:

$$P(B_j | A) = \frac{P(B_j) \cdot P(A | B_j)}{P(B_1) \cdot P(A | B_1) + ... + P(B_k) \cdot P(A | B_k)} = $$

$$= \frac{\frac{n_j}{n}\cdot\frac{m_j}{n_j}}{\frac{n_1}{n}\cdot\frac{m_1}{n_1} + ... + \frac{n_k}{n}\cdot\frac{m_k}{n_k}} = \frac{\frac{m_j}{n}}{\frac{m_1}{n} + ... + \frac{m_k}{n}} = \frac{m_j}{m}.$$

Получаем следующую формулу для вычисления условной вероятности $P(B_j | A)$ обслуживания дефектного звонка $j$-ой станцией:

$$P(B_j | A) = \frac{m_j}{m}.$$

II. Вероятность того, что дефектный звонок, случившийся на $j$-ой станции случился из-за события $C_i$ на этой станции, вычисляется по формуле

$$P = \frac{c_{i,j}}{m_j},$$

так как $m_j$ - общее количество дефектных звонков на $j$-ой станции, а $c_{i,j}$ - количество дефектных звонков на этой станции по причине $C_i$.

III. Вероятность того, что во время обслуживания звонка $j$-ой станцией случится событие (авария) $C_i$, вычисляется по формуле

$$P = \frac{c_{i,j}}{n_j}$$

IV. Вероятность того, что любой звонок будет дефектным по причине события $C_i$ на $j$-ой станции, вычисляется по формуле

$$P = \frac{c_{i,j}}{n}$$

V. Cогласно формуле Байеса, условная вероятность $P(C_i|A)$ - вероятность того, что случайно выбранный звонок оказался дефектным по причине $C_i, \quad i=1,...,l$, вычисляется по формуле:

$$\quad P(C_i | A) = \frac{P(C_i) \cdot P(A | C_i)}{P(C_i) \cdot P(A | C_i) + ... + P(C_i) \cdot P(A | C_i)}$$

Здесь

$P(C_i) = \frac{\sum_{j=1}^{k}c_{i,j}}{n}$ - доля дефектных звонков из-за причины $C_i$,

$P(A | C_i) = 1$ - вероятность того, что звонок окажется дефектным, если произошло событие $C_i$.

Следовательно,

$$\quad P(C_i | A) = \frac{\frac{\sum_{j=1}^{k}c_{i,j}}{n} \cdot 1}{\frac{\sum_{j=1}^{k}c_{1,j}}{n} \cdot 1 + ... + \frac{\sum_{j=1}^{k}c_{1,j}}{n} \cdot 1} = \frac{\sum_{j=1}^{k}c_{i,j}}{\sum_{i=1}^{l}\sum_{j=1}^{k}c_{i,j}},$$

$$\quad P(C_i | A) = \frac{\sum_{j=1}^{k}c_{i,j}}{m}.$$

[grizzly]

Насколько я могу судить, при наиболее естественных интерпретациях всех формулировок все формулы верны (хорошо бы ещё кто-то из сообщества это подтвердил независимо).

rahmatjon
Отдельно хочу обсудить формулировку последнего пункта. Она не интерпретируется абсолютно однозначно, поэтому я предложу своё понимание, а Вы подтвердите, пжл.
В п. V нам требуется найти вероятность того, что случайно выбранный из статистики звонок имеет причину дефекта $C_i$ при условии, что этот звонок оказался дефектным.
Вы точно этого хотели? Вы не видите в формулировке никакого масляного масла? Как по мне, даже из формулировки (не только из ответа) видно, что применение формулы Байеса здесь совершенно излишне.

Если это Вам важно, советую вникнуть в задачу на таком уровне, чтобы суметь сформулировать её в терминах урн и шаров. Это совсем несложно. У Вас есть $k$ урн и $l+1$ цвет (плюс один -- это прозрачные шары удачных звонков). Будем считать, что шары вдобавок подписаны номерами урн (здесь это лишнее, но в будущем может пригодиться).
Ваша формулировка (и решение) последнего пункта эквивалентна следующей задаче:
Сложим все шары в одну общую урну. Найти вероятность того, что случайно вытянутый шар из общей урны имеет цвет $C_i$ при условии, что он не прозрачный.