вопрос по рядам

[brachypelma]

Пусть ряд $\sum_{n=1}^{n=\inf}a_{n}$ сходится, что можно сказать о сходимости:
a) $\sum_{n=1}^{n=\inf}a_{n}^{2}$
b) $\sum_{n=1}^{n=\inf}a_{n}^{3}$ ?
Основная идея в следующем: использовать признак Даламбера, тогда по нему $\frac{a_{n+1}}{a_n}\le1$
Тогда соответственно квадраты и кубы будут меньше либо равны 1.
Все упирается в возможность равенства 1 в пределе, как с ним бороться/есть ли другие пути для проверки сходимости таких рядов?
Если $\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$ есть идея что ряд $\sum_{n=1}^{n=\inf}a_{n} \sim O(\sum_{n=1}^{n=\inf}\frac{1}{n})$
Если эта эквивалентность верна, то очевидно что на оба пункта ответ положителен.
Собственно есть еще обобщение, верно ли что для вообще любого ряда верно $\sum_{n=1}^{n=\inf}a_{n} \sim O(\sum_{n=1}^{n=\inf}\frac{1}{n^{p}})$, для какого-либо $p \in R$ ?
Или я вообще не в ту сторону думаю?

[provincialka]

brachypelma в сообщении #934315 писал(а):

признак Даламбера, тогда по нему $\frac{a_{n+1}}{a_n}\le1$

Нет, неверно. Не всякий сходящийся ряд удовлетворяет признаку Даламбера (а то это был бы не признак, а критерий)

[VanD]

Обычно следующим пунктом в этой задаче идёт c)$\sum_{n=1}^{\inf}\sin{a_n}$
Для квадрата-то ответ же очевиден практически, квадрат ломает признак Лейбница, кажется так он называется)

[provincialka]

Вы на главное посмотрите: каковы знаки слагаемых? В условии ничего не сказано. Так что и сходимость может быть условная. А вот квадраты всегда положительны.

-- 21.11.2014, 20:34 --

VanD в сообщении #934318 писал(а):

ломает признак Лейбница, кажется так он называется

Лейбница "ломает", но опять же, не всякий (условно) сходящийся ряд - лейбницевский. Не надо "приписывать" исходному ряду какие-то признаки.

[brachypelma]

С квадратами и четными степенями они всегда положительны это понятно, но при возведении в квадрат и сами члены ряда стремятся к нулю быстрее же?

[provincialka]

brachypelma в сообщении #934320 писал(а):

при возведении в квадрат и сами члены ряда стремятся к нулю быстрее же?

Но не так быстро, как хотелось бы.
Кстати, самого факта "быстрого" стремления к 0 может оказаться и недостаточно.

(Оффтоп)

У нас на олимпиаде в 2003 рассматривались, сами понимаете, 2003-ьи степени

[VanD]

provincialka в сообщении #934319 писал(а):

Лейбница "ломает", но опять же, не всякий (условно) сходящийся ряд - лейбницевский. Не надо "приписывать" исходному ряду какие-то признаки

Это типо был намёк, на что можно посмотреть, а не приписывание всем кандидатам конкретного признака)

[brachypelma]

С квадратом походу ответ нет, т.к. контрпример:
$\sum_{n=1}^{n=\inf}\frac{1}{n^{\frac{1}{3}}} *(-1)^n$

[provincialka]

VanD, ладно, прощаю...

[ИСН]

(Внизу и $\sqrt n$ хватило бы.)
Ну да: контрпример. Теперь думайте про кубы.

[brachypelma]

provincialka в сообщении #934317 писал(а):

brachypelma в сообщении #934315 писал(а):

признак Даламбера, тогда по нему $\frac{a_{n+1}}{a_n}\le1$

Нет, неверно. Не всякий сходящийся ряд удовлетворяет признаку Даламбера (а то это был бы не признак, а критерий)

Вообще по Зоричу если отношение больше 1, то ряд расходится.

[provincialka]

ИСН в сообщении #934332 писал(а):

Теперь думайте про кубы.

И учтите, что ряды - они такие... коварные!

[ИСН]

brachypelma в сообщении #934333 писал(а):

если отношение больше 1, то ряд расходится.

Я рассмотрю глазами такой ряд: на чётных местах в нём стоят $1\over2^n$, на остальных - нули. Сходится ли он? Чему "равно" "отношение"?

[provincialka]

brachypelma в сообщении #934333 писал(а):

Вообще по Зоричу если отношение больше 1, то ряд расходится.

А если то больше, то меньше? А если меньше 1, но чуть-чуть так что отношение стремится к 1? До бесконечности далеко, так что вариантов масса.

[brachypelma]

ИСН в сообщении #934337 писал(а):

brachypelma в сообщении #934333 писал(а):

если отношение больше 1, то ряд расходится.

Я рассмотрю глазами такой ряд: на чётных местах в нём стоят $1\over2^n$, на остальных - нули. Сходится ли он? Чему "равно" "отношение"?

В признаке Даламбера обязательно существование предела, но пример я понял, не обращал внимание на приписку "если ряд существует"