Равномерная сходимость функциональной последовательности.

[Jiggy]

Необходимо исследовать функ. посл. $f_n(x) = x^2/(1 + n^\alpha \cdot x^3) $ при $ x\in R$
$\alpha = 3/2$
$\alpha = 2$
Собственно при 2 значениях $\alpha $ исследовать.
Значит начал я через критерий равномерной сходимости, а именно:
$\lim(n \to \infty) \sup(x\in R) |f(x) - f_n(x)| = 0$
$f(x)$ - это предельная функция.
$f(x) = 0$
Далее исследую на $\sup$ последовательность $f_n(x)$.
Взял производную я. И посмотрел что к чему.
$f_n'(x) = \frac{ x(2 - x^3n^{3/2})}{(1 + x^3n^{3/2})^2}$
Здесь три особые точки. Одна из знаменателя и 2 другие из числителя.
А именно:
$ x_2 = 0 $
$ x_3 = \sqrt[3]{2} / \sqrt{n} $
$ x_1 = -1/\sqrt{n} $
Самое интересное дальше.
Промежутки возрастания-убывания нашел:
убывание - $(-\infty; -1/\sqrt{n}) \cup (-1/\sqrt{n}; 0) \cup (\sqrt[3]{2} / \sqrt{n}; \infty)$
возрастание - $(0; \sqrt[3]{2} / \sqrt{n})$
У меня проблема с нахождением супремума.
Вроде он равен $f(x_3)$, но с другой стороны при $x \to x_1$
$f(x) \to \infty$
По факту если это верно и супремума не существует, то тогда равномерной сходимости нет для обоих последовательностей, но различие есть чую я. В чем я не прав?
Что скажете?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Оформите формулы в соответствии с правилами набора.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: возвращено

Jiggy в сообщении #933448 писал(а):

$\lim(n \to \infty) \sup(x\in R) |f(x) - f_n(x)| = 0$

Предел пишется так: $\lim\limits_{n\to\infty}$

[Brukvalub]

Вы правы.

[ewert]

Здесь не нужны, ни производные, ни промежутки, ни упаси боже особые точки. А нужно просто

$$f_n(x) = \frac{\left(xn^{\frac{\alpha}3}\right)^2}{1 + \left(xn^{\frac{\alpha}3}\right)^3}\cdot n^{-\frac{2\alpha}3}.$$

Максимум последней дроби тривиально один и тот же при всех $n$, откуда и. (т.е. наверняка в условии нечто потеряно)