Эквивалентность

[integral2009]

Найдите $C$ и $\alpha$ такие, что при $x\to 0$ верно:

$\dfrac{e^{x\cos{\frac{1}{x}}}}{\sqrt{1-2x}-e^x+2x} \sim Cx^{\alpha}$


$e^{x\cos{\frac{1}{x}}}\sim x\cos{\frac{1}{x}}+1$

А как дальше?

[provincialka]

integral2009 в сообщении #933009 писал(а):

$e^{x\cos{\frac{1}{x}}}\sim x\cos{\frac{1}{x}}+1$

С таким же успехом можно написать $e^{x\cos{\frac{1}{x}}}\sim 1$

[ИСН]

Косинус - это дым и зеркала; не обращайте внимания, вот и всё.
А дальше точно так же, только снизу.

[integral2009]

Может тут по формуле тейлора низ?

[demolishka]

integral2009 в сообщении #933158 писал(а):

Может тут по формуле тейлора низ?

Ну так распишите хоть до какого-нибудь члена.

[integral2009]

$\sqrt{1-2x}-e^x+2x=1-x-\frac{x^2}{2}-1-x-\frac{x^2}{2}+2x+O(x^3)=-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$

$e^{x\cos\frac1x}\sim 1-\frac{x^2\cos^2\frac1x}{2}$

$\dfrac{ 1-\frac{x^2\cos^2\frac1x}{2}}{-\frac{x^2}{2}+O(x^3)}\sim \dfrac{ 1}{-\frac{x^2}{2}+O(x^3)}=\dfrac{1}{-\frac{x^2}{2}(1+O(x))}=-\dfrac{x^{-2}}{2(1+O(x))}$

$C=-0.5, \alpha =-2$ Верно?

[provincialka]

Верно, только пополама не будет. Кстати, как это у вас половина в двойку превратилась?

[integral2009]

provincialka в сообщении #934200 писал(а):

Верно, только пополама не будет. Кстати, как это у вас половина в двойку превратилась?

Понятно, спасибо $2x^{-2}$

[provincialka]

Нет, не будет двойки, ни снизу, ни сверху! У вас ошибка при сложении

integral2009 в сообщении #934194 писал(а):

$1-x-\frac{x^2}{2}-1-x-\frac{x^2}{2}+2x+O(x^3)=-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$

Не та главная часть.
И зачем вы используете $O$-большое? Не люблю я его, мне больше нравится $o(x^2)$