Число пи через предел

[IVAN GARAGAN]

Почему

$$\lim\limits_{n\to\infty}4/n^2\sum\limits_{k=0}^{\infty}^{\sqrt{n^2-k^2}}=\pi$$

Почему?

[Legioner93]

Давайте нарисуем окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Разобьём горизонтальный $[0,1]$ на $n$ кусков по $\frac{1}{n}$, да сложим длины $n$ образовавшихся хорд (найдём длину $n$-звенной ломанной с узлами в $x_k=\frac{k}{n}$). Что-нибудь типа вашей формулы наверное и получим, а? Но сумма точно не до бесконечности будет.

-- Вт ноя 18, 2014 17:33:28 --

Или же площадь сектора $\frac{\pi}{2}$ посчитайте, если с дугой не получится.

[Otta]

IVAN GARAGAN
Интегральная сумма патамушта. Была. В оригинале.

[Алексей К.]

IVAN GARAGAN в сообщении #932897 писал(а):

$$\lim\limits_{n\to\infty}4/n^2\sum\limits_{k=0}^{\infty}^{\sqrt{n^2-k^2}}=\pi$$

Мне изучать эти чёртовы комплексные числа, или Вы формулу поправите? Типа

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac4{n^2}\sum\limits_{k=0}^{{\color{magenta}n}}{\color{blue}\sqrt{n^2-k^2}}\quad?$$

-- 18 ноя 2014, 22:59:06 --

Legioner93 в сообщении #932905 писал(а):

Но сумма точно не до бесконечности будет.

Aaa, не сразу увидел; похоже, можно не изучать!