Гамма распределение

[purser]

Пусть известно, что случайная величина имеет распределение Эрланга с известным параметром $k_0$ и неизвестным параметром $\theta>0$, то есть $X$~$\Gamma(\theta,k_0)$. Также известна вероятность $p(X\in (0,T_0))$ на
заданном интервале $(0,T_0)$. Можно ли определить отсюда параметр $\theta$ ?
В соответствии с функцией распределения $F(x)=\gamma(k,x/\theta)/\Gamma(k)$
я ввожу в Maple такую конструкцию для $k_0=2, T_0=1, p(X\in (0,T_0))=0.8$:
$fsolve(\Gamma(2,\theta)/\Gamma(2)=0.8,\theta)$ и получаю отрицательное решение -0.5283280903.
Прошу помощи.

[GAA]

fsolve ищет все решения алгебраического уравнения от одного переменного. Если уравнение не является таковым, то fsolve может вернуть первое найденное решение. Попробуйте задать подходящий промежуток, на котором следует искать решение. Например, от 0 до 5.

[Программный код Maple вставляйте в тег tt или code.]

-- Sun 16.11.2014 19:17:41 --

У меня получилось значение .3339669413

[purser]

fsolve($\Gamma(2,\theta)/\Gamma(2)=0.8, \theta=0..5$)
Результат: 0.8243883090

-- Вс ноя 16, 2014 20:36:13 --

А у вас какой код Maple?

[GAA]

purser в сообщении #931979 писал(а):

fsolve($\Gamma(2,\theta)/\Gamma(2)=0.8, \theta=0..5$)

Как получено?

У меня

> f:= x^(k-1)*exp(-x/theta)/GAMMA(k)/theta^k;
> f2:= eval(f, k=2):
> P:= int(f2, x=0..1);
> fsolve(P=0.8, theta=0.1..5);
            .3339669413142411

[purser]

Функция распределения $F(x)=\gamma(k,x/\theta)/\Gamma(k)$

[--mS--]

Можно и просто найти половину от квантили с уровнем $0{,}8$ распределения хи-квадрат с четырьмя степенями свободы. Кстати, ответ

purser в сообщении #931979 писал(а):

Результат: 0.8243883090

может получиться только если $0{,}8=\mathsf P(X>1)$, а не меньше. Должно быть $2{,}994308347$.

[purser]

--mS-- в сообщении #932012 писал(а):

Кстати, ответ

purser в сообщении #931979 писал(а):

Результат: 0.8243883090

может получиться только если $0{,}8=\mathsf P(X>1)$, а не меньше.

Так вроде $F(1)=P(X<1)$

--mS-- в сообщении #932012 писал(а):

Должно быть $2{,}994308347$

А это о чём?

[GAA]

В книге Боровкова А.А. МС, том 1, 1984 и, например, на Wolfram MathWorld различные параметризации гамма-распределения. Параметру $\alpha$ Боровкова соответствует $1/\theta$ параметризации MathWorld.
Имеем $\alpha \approx 2.994308347$ или $\theta = 1/\alpha \approx .333966941$. Так что моё значение и значение --mS-- терпимо согласуются.

purser, Вы не привели ни выражения для плотности в начальном сообщении, ни ответа на мой вопрос. Начальное сообщение я читал. Переписывать его не надо.
Я привёл выражение для плотности (при $x \ge 0$) в коде Maple.

Edit 17.11.2014: «параметризация» исправлено на «параметризации».

[--mS--]

purser в сообщении #932021 писал(а):

--mS-- в сообщении #932012 писал(а):

Кстати, ответ

purser в сообщении #931979 писал(а):

Результат: 0.8243883090

может получиться только если $0{,}8=\mathsf P(X>1)$, а не меньше.

Так вроде $F(1)=P(X<1)$

Вот именно. Меньше. А вовсе не больше. А у Вас как раз больше.

-- Пн ноя 17, 2014 01:09:41 --

GAA в сообщении #932038 писал(а):

Имеем $\alpha \approx 2.994308347$ или $\theta = 1/\alpha \approx .333966941$. Так что моё значение и значение --mS-- терпимо согласуются.

Да, конечно.

[purser]

GAA в сообщении #932038 писал(а):

purser, Вы не привели ни выражения для плотности в начальном сообщении, ни ответа на мой вопрос. Начальное сообщение я читал. Переписывать его не надо.
Я привёл выражение для плотности (при $x \ge 0$) в коде Maple .

А я привел выражение для функции распределения, которая насколько я понимаю является интегралом от плотности, которую Вы привели.
Если Вам несложно напишите,пожалуйста, как выглядит функция распределения на Maple, я немного запутался

[GAA]

Вы не привели выражение для функции распределения. Вы привели значок $\gamma(k, x/\theta)$. От того какой смысл вкладывается в этот значок зависит ответ. Неполную гамма-функцию определяют по-разному. В Maple неполная гамма-функция это

GAMMA(a,z) = int( exp(-t)*t^(a-1), t=z..infinity).

Вот теперь и поясните откуда

purser в сообщении #931979 писал(а):

fsolve($\Gamma(2,\theta)/\Gamma(2)=0.8, \theta=0..5$)

Вам --mS-- уже и так подсказала где ошибку искать.

-- Sun 16.11.2014 21:58:44 --

purser в сообщении #932060 писал(а):

Если Вам несложно напишите, пожалуйста, как выглядит функция распределения на Maple, я немного запутался

Если разговор идет именно о Maple, то непонятно зачем обязательно функция распределения: нужна указанная в условии вероятность, а это соответствующий интеграл от плотности. Конечно, можно и функцию распределения записать, см. подсказку --mS--. Можно и хи-квадрат распределение использовать, см. пакет Statistics.