Двойной интеграл

[Muller]

Прошу помощи, подскажите, решается ли интеграл аналитически?

$$\iint\limits_{}^{}\\cos(y) dxdy$$

интеграл по кругу $x^2+y^2=2$
Пробовал менять пределы интегрирования и порядок интегрирования, переходил в полярные координаты, никак...

[mihailm]

Muller в сообщении #931538 писал(а):

...Пробовал менять пределы интегрирования и порядок интегрирования, переходил в полярные координаты, никак...

Покажите

[Muller]

Если говорить об полярных координатах, то получаем косинус от синуса под интегралом.
а если в линейных, то получаю интеграл

$\int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}2 \sin \sqrt{2-x^2}dx$

[VanD]

У Вас форма под интегралом замкнута, значит точна (я понимаю координаты $x, y$ как просто декартовы на плоскости в этой записи), значит и её ограничение на окружность будет точной формой, значит теорема Стокса сразу даёт ответ, учитывая, какой край у окружности, ведь именно она задаётся уравнением $x^2 + y^2 = 2$.

[Otta]

VanD
Похоже, там все-таки имеется в виду круг, а не окружность, и кратный интеграл, а не криволинейный. Слишком много было бы опечаток.

[Muller]

Интегрирование по площади, по кругу, последний интеграл - это результат после интегрирования по у с границами $-\sqrt{2-x^2}\leqslant \ y \leqslant \sqrt{2-x^2}$

[Otta]

Не возьмется. Никак.
Только численно.

[Muller]

А форма
$\int\limits_{0}^{2\pi} d\varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{2}}r \,\cos\, (r \sin\varphi) dr$

аналитически решаема? Например с помощью вычетов, или там функция должна быть рациональной только?

[Otta]

Это не форма, это все еще двойной интеграл. Слова

Otta в сообщении #931695 писал(а):

Не возьмется. Никак.

относились к интегралу, а не к конкретному методу.
Так тоже не возьмется, вычеты тут вообще не при делах. Если он у Вас взялся из какой-то другой задачи, имеет смысл привести исходную задачу. Если нет - решайте численно. Больше никак.

[Muller]

Понял, извините! Хотел уточнить просто. Задача была посчитать поток векторного поля через цилиндр, причем именно методом Гаусса - Остроградского, т.е. даже пробовать посчитать поток непосредственно не имеет смысла. А приведенные интегралы приведены без интегрирования по y. Я понял вас, вы получается подтвердили мои опасения, Спасибо еще раз огромное! Ребенку дали задание и примеры решения, где всё решается "красиво", аналитически. Теперь дочь с большей уверенностью сможет согласовывать численный метод с преподавателем.

[Otta]

Muller в сообщении #931975 писал(а):

Я понял вас, вы получается подтвердили мои опасения,

Так, стоп. Я ничего не подтвердила, потому что Вы спрашивали о другом. Приводите исходную задачу.
Какой цилиндр, какое векторное поле. Методом Гаусса-Остроградского у Вас даже и не пахнет.

[Muller]

Я опускаю описание векторного поля, его дивергенция равно 2+cosy. Цилиндр: $x^2+y^2=2; z=1; z=3$.

[Otta]

Muller в сообщении #931986 писал(а):

Я опускаю описание векторного поля,

Лучше приведите. Всякое бывает.

(Оффтоп)

И формулы оформляйте, побьют ведь )

[Muller]

Я поставил локальный вопрос, не приводя всю задачу. Интегрирование по z (я опечатался в предыдущих сообщениях) не вызывает никаких вопросов, как и интегрирование константы (двойки).

-- 16.11.2014, 21:51 --

Хорошо, приведу формулу поля

$\vec{a}= x\,\vec{i}+\sin\, y\ \vec{j}+z \vec{k}$

[Otta]

Ну дык я и говорю - всякое бывает.
Но нет, все нормально. Не сосчитается он аналитически.