Непрерывные функции ограниченной вариации

[grizzly]

Рассмотрим пространство функций $f:[0;1] \rightarrow \mathbb R$, непрерывных на $[0;1]$ и имеющих ограниченную полную вариацию. Введём на этом пространстве естественную метрику, индуцированную полной вариацией. Вопрос: является ли данное пространство сепарабельным?

Надеюсь, что сформулировал корректно, но не уверен, что правильно выбрал раздел форума. Мы когда-то решали эту задачу на студенческом кружке и, возможно, она не так проста для олимпиадной (хотя если поставить вопрос более чётко: "доказать, что является таким-то", то простая идея сразу может прийти в голову. В любом случае повременю немного с ответом, чтоб не портить кому-то потенциальное удовольствие.

В сети поискал, но ни решения, ни ответа не нашёл; если кто уже видел, подскажите, пжл. Мне странно, ведь задача очень удобная для "дать пощупать" студентам взаимосвязь разных тем на одном примере.

[grizzly]

Оставлю сегодня скрытые подсказки, чтоб отделить условие от решения, а решение выложу уже завтра. Подсказки ориентированы на моё решение, и я не думаю, что здесь можно придумать что-то попроще.

Подсказка 1:

(Оффтоп)

Пространство несепарабельно. Для доказательства проще всего в явном виде предъявить несчётный набор функций, таких что "вариационное" расстояние между любыми двумя функциями из этого набора не меньше, скажем, $1/2.$

Подсказка 2:

(Оффтоп)

Поскольку мы работаем с "вариационной" метрикой, то для данного набора достаточно искать монотонные (скажем, неубывающие) функции $f:[0;1] \rightarrow [0;1].\ $
Эта подсказка как-будто ни о чём, но, мне кажется, именно она способна натолкнуть на правильную идею.

[Evgenjy]

grizzly в сообщении #931499 писал(а):

Введём на этом пространстве естественную метрику, индуцированную полной вариацией.

Это не является метрикой, поскольку расстояние между ф-иями, отличающимися на константу, равно нулю. Необходимо дополнительное условие $f(0)=0$, или любой другой константе, но при нуле пространство будет линейным пространством с указанной нормой.

[grizzly]

Решение:

(Оффтоп)

Хорошие функции нам здесь помочь не могут, нужно искать среди сколько-то плохих функций. Первый приходящий в голову классический пример плохой непрерывной монотонной функций $f:[0;1] \rightarrow [0;1]$ -- Канторова лестница. С ней и будем работать. Для этого нам потребуется немного модифицированный её вариант.

Напомним сперва про саму Канторову лестницу. Сошлёмся на стандартное построение этой функции ($F(x)$), в котором значение $F(x)$ для очередного внутреннего сегмента определяется как "среднее арифметическое между соседними, уже определенными значениями $F(x)$". Говоря проще, на каждом шаге построения мы все новые средние сегменты поднимаем на уровень "посрединке" на оси $OY$ между ближайшими сегментами, построенными на предыдущих шагах (с учётом граничных точек 0 и 1).

Теперь два слова про модификацию. Всё будем делать точно так же, как в классическом варианте, но средние сегменты будем поднимать не "посрединке" (деля вертикальный отрезок в отношении $1:1$), а чуть выше (в отношении $3:1$) или чуть ниже (в отношении $1:3$). В конце, как обычно, доопределяем до непрерывности; монотонность тоже очевидна.

Осталось дело за малым:
(1) построить несчётное число таких модифицированных лестниц;
(2) доказать, что вариационное расстояние между любыми двумя лестницами не меньше $1/2$.

(1) Возьмём бесконечную двоичную последовательность $\alpha = \{\alpha_1, ..., \alpha_n,...\}$, где $\alpha_i \in \{0,1\}, i>0$. Строим по ней модифицированную лестницу $F_\alpha (x)$ таким образом, что если $\alpha_i =0$, то сегменты этого шага поднимаем "чуть выше" -- $3:1$, а если $\alpha_i =1$, то "чуть ниже" -- $1:3$. Построив такие лестницы для каждой бесконечной двоичной последовательности, получим несчётное число требуемых функций.

(2) Чтобы проверить, что расстояние $\left| F_\alpha - F_\beta \right|\geq 1/2, \alpha \neq \beta $, достаточно определить наименьшее $k$, для которого $\alpha _k \neq \beta _k$. Взяв по одной точке из каждого сегмента $k$-го шага, легко убедиться, что сумма вариаций по этим точкам будем равна $1/2$. Здесь следует учитывать, что между любыми двумя такими точками где-то достигается равенство этих функций. Следовательно, и полное расстояние будет не меньше $1/2$.

Я выбрал нестрогий стиль описания, пытаясь сосредоточится на самой идее. Если возникнет интерес или вопросы к отдельным местам, можно будет их оформить построже.

-- 16.11.2014, 14:03 --

Evgenjy в сообщении #931701 писал(а):

grizzly в сообщении #931499 писал(а):

Введём на этом пространстве естественную метрику, индуцированную полной вариацией.

Это не является метрикой, поскольку расстояние между ф-иями, отличающимися на константу, равно нулю. Необходимо дополнительное условие $f(0)=0$, или любой другой константе, но при нуле пространство будет линейным пространством с указанной нормой.

Спасибо, всё действительно так -- нужно такое условие.