Задача по динамике

[fronnya]

Цепочка массы $m$ длины $l$ лежит на шероховатом столе так, что один её конец свешивается у его края. Цепочка сама начинает соскальзывать, когда её свешивающаяся часть составляет $\eta$ длины цепочки. Найти работу силы трения при полном соскальзывании цепочки со стола. Как здесь подойти к задаче? Вообще, как я понял, силу трения тут через коэффициент трения не выразить, нужно в лоб через 2-й закон Ньютона, а сила трения постоянно меняется (сила трения для той части цепочки, которая скользит по столу) в зависимости реакции опоры. А как тут это силу выразить ? Натяжение ведь действует?

[Mihr]

fronnya в сообщении #931000 писал(а):

Вообще, как я понял, силу трения тут через коэффициент трения не выразить

Почему? Выразить очень легко. Только нужно учесть, что сила реакции опоры численно равна весу не всей цепочки, а лишь той её части, что пока на столе. Ну, и, конечно, без простенького интеграла здесь не обойтись.

[fronnya]

Mihr в сообщении #931027 писал(а):

fronnya в сообщении #931000 писал(а):

Вообще, как я понял, силу трения тут через коэффициент трения не выразить

Почему? Выразить очень легко. Только нужно учесть, что сила реакции опоры численно равна весу не всей цепочки, а лишь той её части, что пока на столе. Ну, и, конечно, без простенького интеграла здесь не обойтись.

коэффициент трения о поверхность не задан. Смысл выражать так?

[Mihr]

Цитата:

коэффициент трения о поверхность не задан

Вы хотите сказать: не задан явно. Это пустяки.
Он легко находится из условия:

Цитата:

Цепочка сама начинает соскальзывать, когда её свешивающаяся часть составляет $\eta$ длины цепочки.

Так что можно считать: задан.

[fronnya]

Mihr в сообщении #931041 писал(а):

Цитата:

коэффициент трения о поверхность не задан

Вы хотите сказать: не задан явно. Это пустяки.
Он легко находится из условия:

Цитата:

Цепочка сама начинает соскальзывать, когда её свешивающаяся часть составляет $\eta$ длины цепочки.

Так что можно считать: задан.

А как быть с натяжением?

[Mihr]

Цитата:

А как быть с натяжением?

Не понял вопроса. Какие проблемы с натяжением? Да и зачем вообще его рассматривать?

[DimaM]

Возможно, составителями задачи подразумевалось, что сила реакции опоры равна весу лежащей на столе части цепочки. Тогда сила трения находится (про коэффициент трения выше уже написали), работа интегрируется.
Единственно, это неправильно.

[fronnya]

Mihr в сообщении #931044 писал(а):

Цитата:

А как быть с натяжением?

Не понял вопроса. Какие проблемы с натяжением? Да и зачем вообще его рассматривать?

Хорошо. Почему натяжение рассматривать не нужно?

-- 14.11.2014, 20:53 --

Если не рассматривать натяжение: рассмотрим случай, когда масса свешивающейся части равна $\eta$. Тогда можно записать :

$$ \frac{2}{3}\mu mg=\frac {1}{3} mg$$

Тогда $\mu= 0.5$ Это правильно?

[Ms-dos4]

Ну да, $\[(1 - \eta )\mu mg = \eta mg\]$, тогда $ \[\mu = \frac{\eta }{{1 - \eta }}\]$. Теперь запишите выражение для силы трения через длину цепочки на столе. Ну и далее интегрировать

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #931095 писал(а):

Ну да, $\[(1 - \eta )\mu mg = \eta mg\]$, тогда $ \[\mu = \frac{\eta }{{1 - \eta }}\]$. Теперь запишите выражение для силы трения через длину цепочки на столе. Ну и далее интегрировать

Сделано, спасибо

[DimaM]

Ms-dos4 в сообщении #931095 писал(а):

Теперь запишите выражение для силы трения через длину цепочки на столе.

Сдается мне, что просто его не записать.
Пусть длина свешивающейся части $x$, тогда вертикальный импульс $p_y=m\dot{x}/L$ ($L$ - длина всей цепочки). Производная по времени

$$\frac{dp_y}{dt}=\frac{m\dot{x}^2}{L}+\frac{mx\ddot{x}}{L}=mg-N,$$

а сила трения $F=\mu N$. Далее $m\dot{x}=mgx/L-F$, и фиг решишь.

[мат-ламер]

DimaM в сообщении #931375 писал(а):

Сдается мне, что просто его не записать.

Тут сложность в том, что свешивающая часть не направлена вертикальна вниз. Там колебания должны возникать за счёт инерции. Возможно где-то должен вылезти момент импульса.

-- Сб ноя 15, 2014 22:12:58 --

Стоп. Написал ерунду.

DimaM в сообщении #931045 писал(а):

Единственно, это неправильно.

Пока не понял, почему.

-- Сб ноя 15, 2014 22:14:12 --

DimaM в сообщении #931375 писал(а):

и фиг решишь.

А нам оно надо?

-- Сб ноя 15, 2014 22:17:44 --

DimaM
Моё мнение, что нам не обязательно знать скорость, с которой цепочка соскальзывает. И эта задача сложновата. А сила трения зависит исключительно от того, какая часть цепочки остаётся на столе.

[Ms-dos4]

Не понимаю в чём весь сыр бор. Сила трения $\[F = \mu N = \mu mg = \mu \lambda gx\]$. Тогда работа $\[A = \lambda g\frac{\eta }{{1 - \eta }}\int\limits_{(1 - \eta )l}^0 {xdx} = \lambda g\eta (\eta - 1)\frac{{{l^2}}}{2} = \frac{{mgl\eta (\eta - 1)}}{2}\]$

[мат-ламер]

Ms-dos4
DimaM намекает, что соскальзывающее звено цепочки давит на стол не только своим весом, но и частью веса цепочки, свешивающейся со стола.

-- Сб ноя 15, 2014 23:57:44 --

Но, ИМХО, этим эффектом можно пренебречь. В начале движения он мал. А затем, свисающий конец цепочки не сразу падает вниз, а в начале продолжает горизонтальное движение по инерции, и передачи вертикальной силы не происходит.

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #931445 писал(а):

Моё мнение, что нам не обязательно знать скорость, с которой цепочка соскальзывает. И эта задача сложновата. А сила трения зависит исключительно от того, какая часть цепочки остаётся на столе.

Так, конечно, решать легче. Но это неверно.

Ms-dos4 в сообщении #931456 писал(а):

Не понимаю в чём весь сыр бор. Сила трения $\[F = \mu N = \mu mg = \mu \lambda gx\]$

Весь сыр-бор в том, что $N\ne\lambda gx$. Например, если трения нет, $N$ обращается в ноль при соскальзывании куска длиной $L/\sqrt{2}$.

мат-ламер в сообщении #931496 писал(а):

Но, ИМХО, этим эффектом можно пренебречь. В начале движения он мал. А затем, свисающий конец цепочки не сразу падает вниз, а в начале продолжает горизонтальное движение по инерции, и передачи вертикальной силы не происходит.

Наоборот, в начале движения, когда скорость мала, сила давления больше. Когда же цепочка разгонится, сила давления уменьшается.