Помогите,пожалуйста,додумать задачу по теории вероятности

[geezer]

Задача: $n$ человек садятся за круглый стол в случайном порядке. Какова вероятность, что между двумя конкретными лицами $A$ и $B$ окажется ровно $m$ человек? Вычислить эту вероятность при $n=14$ и $m=5$.
$m$ подчиняется условию $ m \leqslant [ \frac{n-1}{2} ] $

При конкретных значениях $n$ и $m$ все вроде легко: всего выходит 13 вариантов, из которых подходящих только два. Итого, вероятность $ P = \frac{2}{13} $.

Не могу обобщить на общий случай. Всего случаев $n!$, как я понимаю, а вот с благоприятными случаями я что-то путаюсь. Дайте, пожалуйста, какую-нибудь наводку.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Оформите все формулы, пожалуйста.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ИСН]

geezer в сообщении #926750 писал(а):

всего выходит 13 вариантов

geezer в сообщении #926750 писал(а):

Всего случаев $n!$, как я понимаю

Тут что-то не сходится.

[geezer]

ИСН в сообщении #926774 писал(а):

Тут что-то не сходится.

Ну, в общем - то да. Если честно, даже и не знаю, с чего начать.

Я сейчас попробовал рассматривать варианты с различными вариантами значений $ n $, чтобы постараться увидеть закономерность. Пришел к выводу, что число случаев все же $ n-1 $

[ИСН]

Ну вот и всё, значит.

-- менее минуты назад --

Пронумеруем места вокруг стола, начиная с того, на которое плюхнулся A. Он всегда на первом месте, значит, а остальные на каких-то. На каком из мест B будет попадаться чаще, чем на остальных? Да ни на каком! Что он, рыжий, что ли? Они же все абсолютно одинаковы.

[geezer]

ИСН в сообщении #926786 писал(а):

Ну вот и всё, значит.

Как-то это очень не однозначно звучит )))

В общем, в результате получается, что искомая вероятность равна или $ \frac {1} {n-1} $, или $ \frac {2} {n-1} $, но как это записать в виде формулы - пока не придумалось.

[ИСН]

Как обычно: фигурная скобочка и условия.

[geezer]

ИСН в сообщении #926786 писал(а):

Пронумеруем места вокруг стола, начиная с того, на которое плюхнулся A. Он всегда на первом месте, значит, а остальные на каких-то. На каком из мест B будет попадаться чаще, чем на остальных? Да ни на каком! Что он, рыжий, что ли? Они же все абсолютно одинаковы.

Для В место можно определить $C_{n-m-1}^{1} $ способами. Выбираем из $n-m-1$ потому,что одно место уже занято А, $m$ мест заняты теми, кто между А и В. Отчет можно вести в двух направлениях ( грубо говоря, по и против часовой стрелки ), значит, надо еще удвоить.

Нет,так тоже ерунда выходит.

[ИСН]

Ответ-то какой в итоге?

[geezer]

ИСН в сообщении #926809 писал(а):

Ответ-то какой в итоге?

Для А можно выбрать место $n$ способами.
Для В - $2*C_{n-m-1}^{1}$ способами.
В итоге: $ P = \frac{2*C_{n-m-1}^{1}*n}{n-1}$. Но это неверно.

[provincialka]

Что за идея писать $C_n^1$ вместо просто $n$. А зачем выбирать место для $A$? Куда он сел - там и есть его место. Если уж выбираете место первому, то посчитайте и знаменатель по-другому.

[geezer]

provincialka в сообщении #926822 писал(а):

Что за идея писать $C_n^1$ вместо просто $n$.

Не знаю. Я написал просто $ n $.

provincialka в сообщении #926822 писал(а):

А зачем выбирать место для $A$? Куда он сел - там и есть его место

В принципе, логично. Ведь $ m $ определяется местом второго. $ n $ убираем из числителя. Но все равно неправильно.

[ИСН]

geezer в сообщении #926790 писал(а):

в результате получается, что искомая вероятность равна или $ \frac {1} {n-1} $, или $ \frac {2} {n-1} $

Что заставило Вас уйти от высказанного мнения, жить в лесу, питаться травой и носить на себе тяжёлые цепи?

[geezer]

ИСН в сообщении #926830 писал(а):

Что заставило Вас уйти от высказанного мнения, жить в лесу, питаться травой и носить на себе тяжёлые цепи?

Я же не могу проверить, что это верно для всех значений $ n $ и $ m $, а написать, что раз для каких-то значений это так, значит и для других так же,как-то неправильно. Или я не прав?