2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 21:52 
_genius_ в сообщении #926149 писал(а):
Ну та оценка, что я вывел, к решению не приводит. Если дальше расписать:
$e^{\delta+1}<e^{\ln(\varepsilon)}=\varepsilon$

И не может привести, ибо $\varepsilon$ сколь угодно мало, а левая часть неравенства заведомо больше $e$.
Графически, грю же я Вам. Стройте график $y=e^x-1$, смотрите на него... лучше всего линейные оценки. $y=kx$. Ну вот и постройте прямую, чтобы на всем Вашем промежутке (из условия) график лежал ниже такой прямой. Вроде несложно.

 
 
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 21:56 
Тут далеко не один бит. Возможных оценок великое множество.
Цитата:
Ваша оценка плоха тем, что не стремится к нулю. Надо чтобы стремилась.

Полностью с Вами согласен.

 
 
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 22:03 
Аватара пользователя
Нет, тут один бит: информация о том, что функция "хорошая" и оценка есть. Больше никакой информации, ниспосланной свыше, в топике пока не появлялось. Так-то да, оценок великое множество, но их не надо угадывать. Их надо искать. Даже не "их" - одну. Любую.

 
 
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 22:07 
Цитата:
Стройте график $y=e^x-1$

Скорее $y=|e^x-1|$, причем $x\in(-1,1)$, т.к. $x=x''-x'$ где $x'',x'\in(0,1)$.
Вот он, этот график:
Изображение
Линейная $y = kx + b$ при $b = 0$ очевидно не подходит.

 
 
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 22:14 
_genius_ в сообщении #926171 писал(а):
Скорее $y=|e^x-1|$, причем $x\in(-1,1)$,

Значица так. Слушайте старших. :mrgreen:
Вам нужен именно тот график, что я написала выше, и только при положительных значениях аргумента, изменяющегося на Вашей области. (Можно даже и сузить ее.) Осознайте, почему этого достаточно.

 
 
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 22:19 
Цитата:
Осознайте, почему этого достаточно.

Потому что в окрестности единицы она быстрее всего растет.
Все понял кажись:
$e\cdot|e^{x''-x'}-1|<6|x''-x'|=\varepsilon$
$\delta=\frac{\varepsilon}{6}$

 
 
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 22:22 
Вам окрестность единицы как раз должна быть фиолетово, это уже для перестраховки, чтобы стопудов оценка построилась, у Вас при малых эпсилон малое изменение аргумента должно получаться (равномерно малое), так что волновать Вас должна окрестность нуля, на деле.

А вот положительность как себе испросить? шоб була? Вернее не так - почему для положительных - оценки достаточно?

 
 
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 22:54 
Otta
В общем контрпримеров (таких $\delta$ для которых при $|x''-x'|<\delta$: $|e^{x''}-e^{x'}|\geqslant 6\cdot\delta$) найти не удалось ни в окрестности 0, ни в окрестности 1. Значит скорее всего решение верное. Спасибо что довели меня до нужной мысли :-) .
Цитата:
почему для положительных - оценки достаточно?

Потому что модуль, да?

 
 
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 23:12 
Аватара пользователя
$e^x-e^y$ напоминает одну формулу с комплексными числами. Не поможет?

 
 
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 23:19 
_genius_ в сообщении #926207 писал(а):
Потому что модуль, да?

Нет, потому что выражение $|e^{x'}-e^{x''}|$ симметрично относительно $x',\,x''$, а значит, за знак модуля (Ваше первое действие) можно вынести меньший из них.

Шестерка, конечно, вызывает вопросы, ну да ладно. (Эпсилон тогда не получится брать произвольным, только меньшими чего-то там. А чего - это считать надо. Но это и не существенно. Для меня. И для существа вопроса. А как к этому отнесется Ваш преподаватель, я не знаю. :) )

 
 
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 23:33 
Otta
Цитата:
выражение $|e^{x'}-e^{x''}|$ симметрично относительно $x',\,x''$

Не понял, как это, симметрично относительно двух точек? Вы имеете в виду что их можно поменять местами?
Цитата:
Эпсилон тогда не получится брать произвольным, только меньшими чего-то там

А это ещё почему? На данном отрезке максимальное $\varepsilon=e-1$, при этом $\delta=1$ уже достаточно, а у меня оно даже с запасом получается: $\delta = 0.2864$.
Так я не для преподавателя. Все на добровольных началах. Я совсем другие вещи изучаю. Математику решил нагнать чтобы понять физику, которую, возможно, придется изучать в будущем.

 
 
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 23:42 
Если Вы в этом выражении $x'$ и $x''$ поменяете местами, его значение изменится? Нет. Это и называется симметричностью. И если у Вас аргумент у одной экспоненты меньше, Вам ничто не мешает их переставить в нужном порядке. И вынести нужную.
_genius_ в сообщении #926226 писал(а):
А это ещё почему? На данном отрезке максимальное $\varepsilon=e-1$,

Да, верно. Это я запамятовала, что оно у Вас на единицу опущено.
Но тогда можно так и писать $\ldots<e(e-1)\delta=\varepsilon$. Математики они такие странные, им почему-то так понятней. :mrgreen:

 
 
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 23:50 
Otta
А какая разница какую вынести?

Да-да, я так увлекся подбором функции, что забыл про этот банальный ход, который уже применил в самом начале ($e^x < e^1$ если $x<1$).

 
 
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение03.11.2014, 23:52 
_genius_ в сообщении #926235 писал(а):
А какая разница какую вынести?

Вы хотите пользоваться Вашим неравенством? Да? Нет?
Так вот на минуточку допустив, что да, то оценку Вы строили только для положительных значений аргумента экспоненты, в роли которого выступает разность двух иксов.

 
 
 
 Re: равномерная непрерывность
Сообщение04.11.2014, 01:09 
Otta
Вы правы, но из графика видно что при отрицательных значениях аргумента эта функция растет ещё медленнее чем при положительных. Т.е. моей 6ки тем более хватило бы. Но в общем случае конечно нельзя такое забывать.

Ещё такой момент: тут прозвучало предложение, пусть оно было и не в тему, использовать Лагранжа. Если я правильно понимаю, то речь о том самом Лагранже, который утверждает что у любой функции, непрерывной на $[a,b]$ и дифференцируемой на $(a,b)$ существует $f'(\xi) = \frac{f(x'')-f(x')}{x''-x'}$.
Условия выполнены, значит мне достаточно сказать что $\delta = \frac{\varepsilon}{f'(\xi)}$. Но при этом поскольку знаменатель зависит от $\xi$, а $\xi$ зависит от $x'',x'$, надо выбрать $\xi$, дающее максимальное $f'(\xi)$ на интервале. Тогда получается что уже $\xi=1$ более чем достаточно, т.е. $\delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{e}$. Все верно?

 
 
 [ Сообщений: 56 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group