Спинор.

[bayak]

warlock66613 в сообщении #924633 писал(а):

Но есть у спиноров действительно интересная особенность по сравнению с векторами и тензорами. Вот как преобразуются компоненты спинора при повороте, например, вокруг оси $z$:
$\psi^{1'} = \psi^1 e^{i\varphi/2}$, $\psi^{2'} = \psi^2 e^{-i\varphi/2}$.
Если подставить сюда $\varphi=360^{\circ}$, то мы не получим $\psi^{1'} = \psi^1$, $\psi^{2'} = \psi^2$, как можно было бы ожидать. Вместо этого оказывается $\psi^{1'} = -\psi^1$, $\psi^{2'} = -\psi^2$, т. е. при повороте на $360^{\circ}$ спинор меняет знак. Соответственно, в себя спинор переходит только при повороте на $720^{\circ}$. Невероятного в этом, если подумать, ничего нет. Представьте себе мир, где все объекты симметричны таким образом, что совпадают сами с собой при повороте на $180^{\circ}$. И вообразите как удивились бы жители этого мира, если бы увидели какую-нибудь привычную нам вещь, которая совпадает сама с собой только при "двойном" повороте на $360^{\circ}$! Так же удивились и мы, обнаружив, что мельчайшие частички, из которых состоит наш мир, ведут себя как спиноры: совпадают с собой только при повороте на $720^{\circ}$. Представить нам это трудно, но описать математически как выяснилось - вполне возможно.

Всё что я сказал здесь о спинорах - это очень односторонний и однобокий взгляд на эти интересные объекты. Так сказать, беглый взляд краем глаза. Я надеюсь и верю, что он будет дополнен другими постами (в том числе цитатами из старых постов), которые покажут как можно ещё представить себе, что такое спинор. Так же, я надеюсь, что вы поняли из моей писанины, что спиноры - это представление группы вращения пространства (вы же знаете, что такое группа и представление группы?).

Несколько слов в развитие этой идеи.

Для того чтобы представить себе мир, в котором происходит совпадение при повороте на $720^{\circ}$, возьмите колечко (например, банковскую резинку) и пометьте маркером две противоположные точки, а затем скрутите его восьмёркой и соедините две половинки. В результате, вне зависимости от точки скручивания, помеченные маркером противоположные точки совпадают. Вот этот мир скрученной резинки, в котором для полного поворота наблюдателю необходимо пробежать $720^{\circ}$-миль, и может служить моделью спинора. Впрочем, эта игрущечная модель допускает трёхмерное расширение. Для этого достаточно взять трёхмерную сферу и отождествить в ней противоположные точки. Тогда все большие окружности сферы превратяться в скрученные колечки, и поэтому забег на $720^{\circ}$-миль в любом трёхмерном направлении приведёт наблюдателя в исходную точку.

[Munin]

bayak в сообщении #925006 писал(а):

Для этого достаточно взять трёхмерную сферу и отождествить в ней противоположные точки. Тогда все большие окружности сферы превратяться в скрученные колечки

Нет, увы. В удвоенные полуокружности, но не в "скрученные колечки". Даже в такой простой вещи лажаете.

[bayak]

Munin в сообщении #925044 писал(а):

Нет, увы. В удвоенные полуокружности, но не в "скрученные колечки". Даже в такой простой вещи лажаете.

Так не надо склеивать противоположные точки и будет вам счастье в виде скрученных колечек. Совмещайте, но не склеивайте! Для наглядности можно даже не совмещать восьмёрку в окружность. Тогда, просто прокручивая место перекрещивания колечка, можно убедиться, что для полной идентичности необходимо пройти две окружности восьмёрки.

[arseniiv]

bayak в сообщении #925051 писал(а):

Совмещайте, но не склеивайте!

И в чём же отличие?

[bayak]

arseniiv в сообщении #925133 писал(а):

И в чём же отличие?

Если склеить скрученное колечко, то получится окружность. Иначе говоря, топологическое представление (полное отождествление противоположных точек) скрученного колечка аннулирует замечательное свойство неориентируемости такого колечка, т.е. возможности поменять ориентацию касательного вектора при перенесении его вдоль линии кольца.

[Munin]

bayak в сообщении #925051 писал(а):

Так не надо склеивать противоположные точки и будет вам счастье в виде скрученных колечек.

Да я понял о чём вы, вот только вы не поняли: колечек не будет. Будут полуколечки.

[bayak]

Munin, а как вы себе представляете скрученное резиновое колечко? Что за полуколечки у вас в голове?

[Munin]

Я хорошо знаю, что полусфера Римана - это не скрученные резиновые колечки. Что у меня в голове - советую почитать в учебниках.