Спинор.

[Mr.Positive]

Добрый день!
Нужна помощь!
Объясните,пожалуйста, доступным языком, что такое спинор и как он преобразовывается.
Заранее, спасибо!

[warlock66613]

А вы знаете, что такое вектор и что такое тензор?

[Mr.Positive]

Да,конечно!

[warlock66613]

Задавая вопрос, я предполагал, что вы выдадите в ответ хотя бы определения, чтоб было понятнее, с какой стороны подходить с спинорам. Ну да ладно.

Иногда вектор и тензор определяются как наборы чисел, преобразующиеся определённым образом при вращении системы координат. Вектор - набор из трёх чисел, тензор 2-го ранга - набор из девяти чисел и т. д. Причём преобразование это линейное.

Возникает вопрос: что если взять, ну скажем, 2 числа, и придумать им какой-нибудь первый попавшийся линейный закон преобразования типа
$a_1' = a_1 \sin \alpha + a_2 \sin \beta$
$a_2' = a_1 \cos \beta + a_2 \cos \gamma$
(Здесь $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ - углы Эйлера.)
Чем такая двух-компонентная величина хуже тензоров?

Известно (вот тут конечно вопрос - известно это вам или нет?), что тензоры вообще и векторы в частности - это объекты геометрические. При этом вектор даже несложно представить и нарисовать. А вот тензоры более высокого ранга представить и нарисовать сложнее, но если постараться, то можно. Ну так может и наша двухкомпонентная загогулина - геометрический объект, просто мы не знаем как его нарисовать?

Проверить это можно следующим образом. Известно, например, что последовательность поворота на $90^{\circ}$ вокруг оси $x$ и поворота на $90^{\circ}$ по оси $y$ эквивалентна одному повороту на $90^{\circ}$ вокруг оси $z$. И понятно, что преобразование компонент геометрического объекта должно быть согласовано с этим: результат применения двух преобразований, соответствующих вращению вокруг двух осей должен быть таким же, как результат преобразования, соответствующего вращению вокруг третьей оси. Вы можете (вы же умеете перемножать матрицы?) проверить, что загогулина этот тест проваливает. Даже проще: два последовательных поворота на $45^{\circ}$ вокруг одной и той же оси должны, очевидно, приводить к тому же результату, что и один поворот на $90^{\circ}$. И даже это простой тест загогулина проваливает. Значит, не всякий набор компонент с приданным ему преобразованием определяет геометрический объект.

Но всё-таки тензоры - не единственные геометрические объекты в трёхмерном пространстве. И одним из нетензорных геометрических объектов является спинор. Это величина четырёхкомпонентная - она описывается четырьмя действительными числами, но чаще её удобнее описывать двумя комплексными числами. Я не буду приводить формулы для преобразований компонентов при повороте системы координат - их несложно найти в литературе (см. например Л-Л т. 3 формулы (58.3) и (58.4)). Вы можете проверить, что тесты на комбинации поворотов эти преобразования проходят.

Интересно, что, в отличие от тензоров, преобразования эти выглядят не симметрично для трёх осей: ось $z$ явно выделена. Но конечно, если вы возьмёте в пространстве две различные системы координат и для каждой построите свои спиноры, то можно будет показать изоморфность этих спиноров, так что выделенность кажущаяся.

Но есть у спиноров действительно интересная особенность по сравнению с векторами и тензорами. Вот как преобразуются компоненты спинора при повороте, например, вокруг оси $z$:
$\psi^{1'} = \psi^1 e^{i\varphi/2}$, $\psi^{2'} = \psi^2 e^{-i\varphi/2}$.
Если подставить сюда $\varphi=360^{\circ}$, то мы не получим $\psi^{1'} = \psi^1$, $\psi^{2'} = \psi^2$, как можно было бы ожидать. Вместо этого оказывается $\psi^{1'} = -\psi^1$, $\psi^{2'} = -\psi^2$, т. е. при повороте на $360^{\circ}$ спинор меняет знак. Соответственно, в себя спинор переходит только при повороте на $720^{\circ}$. Невероятного в этом, если подумать, ничего нет. Представьте себе мир, где все объекты симметричны таким образом, что совпадают сами с собой при повороте на $180^{\circ}$. И вообразите как удивились бы жители этого мира, если бы увидели какую-нибудь привычную нам вещь, которая совпадает сама с собой только при "двойном" повороте на $360^{\circ}$! Так же удивились и мы, обнаружив, что мельчайшие частички, из которых состоит наш мир, ведут себя как спиноры: совпадают с собой только при повороте на $720^{\circ}$. Представить нам это трудно, но описать математически как выяснилось - вполне возможно.

Всё что я сказал здесь о спинорах - это очень односторонний и однобокий взгляд на эти интересные объекты. Так сказать, беглый взляд краем глаза. Я надеюсь и верю, что он будет дополнен другими постами (в том числе цитатами из старых постов), которые покажут как можно ещё представить себе, что такое спинор. Так же, я надеюсь, что вы поняли из моей писанины, что спиноры - это представление группы вращения пространства (вы же знаете, что такое группа и представление группы?).

[Mr.Positive]

Спасибо большое, прекрасно объяснено!
Это мне существенно помогло!

[Munin]

Также рекомендую ФЛФ-8 главы 3 "Спин единица" и 4 "Спин одна вторая".

[Mr.Positive]

Спасибо, обязательно посмотрю!

[Mr.Positive]

Могли бы вы также пояснить различие спинора и биспинора в уравнении Дирака?

[Утундрий]

Mr.Positive в сообщении #924776 писал(а):

пояснить различие спинора и биспинора в уравнении Дирака

Биспинор - это (внезапно!) два спинора, коие пунктирно промеж собой сопряжены.

[Mr.Positive]

Благодарю!

[Munin]

Слово "биспинор" не всеми употребляется, проще и общепринятее говорить про спинор Дирака в уравнении Дирака. Просто спинор Дирака состоит из 4 комплексных чисел, а не из 2, в связи с тем, что в релятивистском случае необходимо рассматривать не только частицу со спином вверх и со спином вниз, но также и античастицу со спином вверх и со спином вниз.

[Mr.Positive]

Не зал, что нужно учитывать еще и спин античастицы, спасибо!

[Утундрий]

Munin в сообщении #924813 писал(а):

Слово "биспинор" не всеми употребляется, проще и общепринятее говорить про спинор Дирака в уравнении Дирака.

Странно слышать такое от поборника терминологической точности. Спинор - по определению (Вейля) двухкомпонентен. Поэтому, "спинор" Дирака правильно называть би-спинором. По очевидной причине.

[Munin]

Утундрий в сообщении #924847 писал(а):

Спинор - по определению (Вейля) двухкомпонентен.

Сейчас применяется другая терминология. Спинор - это не двухкомпонентная величина, а элемент двузначного представления соответствующей группы вращений - то есть, представления группы Spin. Вейль первооткрыватель, но потом понятие было расширено. См. англовики, например. https://en.wikipedia.org/wiki/Spinor#Overview

Спиноры для стандартного 4-мерного пространства, например, бывают даже не двух, а трёх типов: Вейля, Дирака, Майораны.

Да, я поборник терминологической точности, но не "исторической справедливости" (обычно). Я считаю, что следует придерживаться точно той терминологии, которая общепринята на сегодняшний день.

А кстати, если почитать историю, то спиноры изобретены Эли Картаном, переоткрыты Паули, Дираком и Ван дер Варденом, слово "спинор" - введено Эренфестом, так что при чём тут Вейль?

[Утундрий]

Munin в сообщении #924861 писал(а):

при чём тут Вейль?

При том, что я так запомнил