Ряд и факториал

[Ktina]

Исследуйте на сходимость ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_n},$$

где

$$a_n$$

- это количество цифр в десятичной записи числа

$$n!$$

[patzer2097]

$a_n\in O\left(\sum_{k=1}^n\,\log k\right)=O(n\log n)$ при $n\rightarrow\infty$, и потому ряд расходится

[nnosipov]

Лучше так написать $\sum_{k=1}^n \log{k} \asymp n\log{n}$. Проще всего эту оценку можно получить с помощью интегралов.

[ewert]

nnosipov в сообщении #924986 писал(а):

Лучше так написать $\sum_{k=1}^n \log{k} \asymp n\log{n}$. Проще всего эту оценку можно получить с помощью интегралов.

Хуже так написать: нужна именно "О". Поэтому и никакие интегралы не нужны. Вот разве что принадлежность к этому "О" выглядела забавно.

[RIP]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #924988 писал(а):

Вот разве что принадлежность к этому "О" выглядела забавно.

Кстати, по смыслу, $O(\cdot)$ — это именно класс функций, поэтому логичнее писать $a_n\in O(b_n)\subseteq O(c_n)$ вместо общепринятых $a_n=O(b_n)=O(c_n)$. В этом смысле действительно $a_n\in O\left(\sum_{k=1}^n\log k\right)=O(n\log n)$ при $n\to\infty$ (последнее равенство, кстати, означает, что $\sum_{k=1}^n\log k\asymp n\log n$). Но против традиций, по-видимому, не попрёшь.

[nnosipov]

Пардон, это у меня случился глюк. Почему-то показалось, что нужна оценка снизу.

[RIP]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #924986 писал(а):

Лучше так написать $\sum_{k=1}^n \log{k} \asymp n\log{n}$. Проще всего эту оценку можно получить с помощью интегралов.

Имхо, проще всего её получить так: $n\log n\ge\sum_{k=1}^n\log k\ge\sum_{n/2\le k\le n}\log k\ge (n/2)\log(n/2)$.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Да, согласен. Интегралы нужны для другого. Мне стоит пореже писать посты ранним утром

[ex-math]

(Оффтоп)

RIP в сообщении #925042 писал(а):

Но против традиций, по-видимому, не попрёшь.

А так ли уж это нужно? Главное правильно понимать смысл, а с этим вроде проблем ни у кого нет.

[ewert]

(Оффтоп)

RIP в сообщении #925042 писал(а):

$a_n\in O\left(\sum_{k=1}^n\log k\right)=O(n\log n)$ при $n\to\infty$ (последнее равенство, кстати, означает, что $\sum_{k=1}^n\log k\asymp n\log n$).

Кстати, не означает, но лишь следует из.

RIP в сообщении #925047 писал(а):

Имхо, проще всего её получить так: $n\log n\ge\sum_{k=1}^n\log k\ge\sum_{n/2\le k\le n}\log k\ge (n/2)\log(n/2)$.

Имхо, проще всего её (в смысле нужную) получить так: $\sum_{k=1}^n\log k\leqslant n\log n$.

-- Сб ноя 01, 2014 22:38:17 --

RIP в сообщении #925042 писал(а):

Но против традиций, по-видимому, не попрёшь.

Это не просто традиции. Это просто очень удобно и вполне формально корректно. А вот переход на язык классов, пусть и тоже корректен -- крайне неудобен. Как прочитать на этом языке, скажем, что $\sin x=x+O(x^3)$?... А ведь подобные записи практически необходимы до невозможности (от них отказаться).

[arseniiv]

ewert в сообщении #925173 писал(а):

Как прочитать на этом языке, скажем, что $\sin x=x+O(x^3)$?... А ведь подобные записи практически необходимы до невозможности (от них отказаться).

Может, определить $f + G := \{f + g : g\in G\}$? Тогда запись $\sin x \in x + O(x^3)$ корректна и означает что обычно.

[ewert]

Нет, не пойдёт. Во-первых, синус -- это никакой не класс, а чиста конкретен. А во-вторых: ну,допустим, одно "О" за уши сюда ещё можно было бы притянуть; ну а если их в одном выражении несколько?... А ведь такая ситуация типична.

[arseniiv]

ewert в сообщении #925197 писал(а):

Во-первых, синус -- это никакой не класс, а чиста конкретен.

А где тут требуется, чтобы он был классом?

ewert в сообщении #925197 писал(а):

А во-вторых: ну,допустим, одно "О" за уши сюда ещё можно было бы притянуть; ну а если их в одном выражении несколько?... А ведь такая ситуация типична.

Тогда переопределить плюс ещё и для двух классов с обоих сторон, а не только с одной. Какие случаи не покроются?