Элементарная геометрия 5

[Phaenomenon]

Доброго времени суток! Продолжаю решать планиметрию.

В треугольнике $ABC‍$ известно, что $\angle BAC = 60‍$,‍ $\angle ABC = 45‍$.‍ Продолжения высот треугольника $ABC‍$ пересекают описанную около него окружность в точках $M, N, P$.
а) Докажите, что треугольник $MNP‍$ прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника $MNP$,‍ если известно, что $BC = 12$.

Рисунок:


На решение, представленное в интернете, я даже не смотрел, да и если бы сам до него додумался, то все равно бы искал другое.
a) Очевидно (но не столь очевидно на представленном рисунке), что можно рассмотреть дуги. Хотя это кажется невозможным. Метод координат рассматривать здесь глупо, поэтому как таковых идей нет. Но я готов работать.

[gris]

Идея такая: если соединить основания двух высот в треугольнике (пусть остроугольном), то что мы можем сказать о маленьком треугольнике?

[Phaenomenon]

gris в сообщении #923667 писал(а):

пусть остроугольном

Потенциально здесь два остроугольных треугольника (ведь прямоугольность $MNP$ мы не доказали )

gris в сообщении #923667 писал(а):

если соединить основания двух высот в треугольнике

Вы имеете в виду $N$ соединить с $C$, а $P$ c $B$? И какой же я маленький треугольник могу рассматривать? Или это отсылка к свойству пропорциональности высот сторонам? Не понимаю

[Nemiroff]

С помощью рассмотрения дуг первый пункт решается в одну строчку.
Для площади какой-то ответ некрасивый выходит.

[gris]

Nemiroff, а мне кажется, что любое иррациональное число красивее многих натуральных. А уж корень из трёх просто очарователен.

Phaenomenon, тут можно применить и метод координат, но ни к чему. Вернее, есть к чему, но "никчему", хотя это ошибочное написание. А как же быть? Странно, ведь "почему" и "по чему" различаются.
Ах, да. Треугольники. Задача, конечно, на знание и применение синусов. Мне вот бросилось в глаза подобие, еле отодрал. Фу, с утра чушь в голову лезет. Короче, находите все углы второго треугольника. А раз он прямоугольный, то что же есть его гипотенуза?
А я говорил вообще о произвольном треугольнике. Основание высоты определяется в учебнике вполне однозначно.

[Phaenomenon]

Приношу огромные извинения за мое долгое отсутствие!

Nemiroff в сообщении #923698 писал(а):

С помощью рассмотрения дуг первый пункт решается в одну строчку.

Спасибо за ответ! Это утверждение основано на том, что Вы уже доказали прямоугольность через дуги, или же просто из очевидности этих дуг? Вопрос не спроста, поскольку, пытаясь решать через дуги, нормального ответа у меня не получилось (я бы даже сказал наоборот, только добавилось больше).
Ну хорошо. Вот есть у нас дуги $AC = 90 , CB = 150 , AB=120$ и нам надо найти дугу $PM$. Резонно ли здесь расписывать неизвестные $AP$ и $CM$, которые все равно не дадут нам ни годной системы, ни подсказки?

gris в сообщении #923710 писал(а):

А раз он прямоугольный, то что же есть его гипотенуза?

Очевидно диаметром. Но тут выходит некая нелогичность. Нам же надо доказать, что $MP$ гипотенуза, а докажем мы это только исходя из свойства вписанных углов, опирающихся на диаметр, а для этого нам надо уже доказать прямоугольность треугольника... а мы это уже сделали в первом действии, точно. Ну хорошо, зная только один угол и предполагая теорему синусов, нам, следовательно, нужно найти радиус окружности. А это половина $MP$. Хотя это излишнее. В общем, пока думаю.

-- 30.10.2014, 00:20 --

Все, уже некоторые моменты разобрал. Диаметр мы докажем через дуги. И я совсем забыл про остальные углы, то есть вообще не учитывал образованные прямоугольные треугольники. Пока думаю, как доказать, что $NB$ это еще и биссектриса, дабы заключить равнобедренность $MNP$. Вот тут не помешала бы ваша помощь.

[gris]

Правильно рассуждаете. Треугольники же вписаны в одну окружность. По первому мы находим её диаметр и сразу же получаем гипотенузу второго. И тут нам понадобится ещё один угол второго, чтобы найти катеты. А по катетам и площадь легко найти. Но, возможно, есть и более сложный путь. Или более простой.

[Nemiroff]

Phaenomenon в сообщении #924291 писал(а):

Резонно ли здесь расписывать неизвестные $AP$ и $CM$, которые все равно не дадут нам ни годной системы, ни подсказки?

Тремя буквами углы, двумя — дуги.

$$MNP=MP/2=MB/2+BP/2=MAB+BCP=\pi/2-ABC+\pi/2-ABC=\pi-2ABC=\pi/2$$

gris в сообщении #924328 писал(а):

По первому мы находим её диаметр и сразу же получаем гипотенузу второго. И тут нам понадобится ещё один угол второго, чтобы найти катеты. А по катетам и площадь легко найти.

+100500.
Я пользовался $S=2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma=\dfrac{c^2\sin\alpha\sin\beta}{\sin\gamma}$. Получается $24\sqrt{3}$.

-- Чт окт 30, 2014 10:02:14 --

Phaenomenon в сообщении #924291 писал(а):

Пока думаю, как доказать, что $NB$ это еще и биссектриса, дабы заключить равнобедренность $MNP$.

Это сделать нельзя, потому что это неправда.

[Skeptic]

Второй треугольник - прямой с острыми углами 30 и 60. Его площадь $\dfrac{BC^2}{2\sqrt{3}}$