Подпространство в V как пересечение ядер

[main.c]

Всякое подпространство $U \subset V$ является пересечением ядер некоторого множества линейных функций на $V$.
У меня возник вопрос, эта теорема верна и для самого пространства $V$? Если да, то что это за набор такой?

[arseniiv]

Константа, равная всюду нулю. Её ядро — всё пространство.

[popolznev]

main.c в сообщении #914336 писал(а):

Всякое подпространство $U \subset V$ (...) У меня возник вопрос, эта теорема верна и для самого пространства (...)

А не должен был бы такой вопрос возникать :) Сказано же: для любого подпространства. А само пространство является своим подпространством.

А вот вопрос "Что это за набор?" имеет право возникнуть. И на него уже ответили.

[main.c]

arseniiv в сообщении #914361 писал(а):

Константа, равная всюду нулю. Её ядро — всё пространство.

Оу, точно, спасибо.

popolznev в сообщении #914370 писал(а):

А не должен был бы такой вопрос возникать :) Сказано же: для любого подпространства. А само пространство является своим подпространством.

Просто в доказательстве теоремы получалось, что мы дополняли базис $\{e_1, ..., e_n\}$ в $U$, до базиса $\{e_1, ..., e_n, e_{n+1}, ..., e_m\}$ в $V$, а потом доказывалось, что базис сопряжённый к $\{e_{n+1}, ..., e_m\}$ и есть искомый набор. Но если брать всё пространство, то он пустой, вот и возник вопрос. Из данного доказательства совсем не следует, что для любого.

[popolznev]

Хе, действительно, из такого доказательства не следует. Но тогда получается, что это доказательство не доказывает теорему (для этого самого особого частного случая).

[Joker_vD]

main.c в сообщении #914379 писал(а):

Но если брать всё пространство, то он пустой,

Линейная оболочка, натянутая на пустое множество, состоит из нулевого вектора — т.е. из 0-мерного подпространства.

[main.c]

Joker_vD в сообщении #914416 писал(а):

main.c в сообщении #914379 писал(а):

Но если брать всё пространство, то он пустой,

Линейная оболочка, натянутая на пустое множество, состоит из нулевого вектора — т.е. из 0-мерного подпространства.

Вынужден с Вами не согласиться, всё-таки линейная оболочка натянутая на пустое множество - это пустое множество(линейная комбинация "ничего" - это "ничего" ), а вот натянутая на нулевой вектор состоит из нулевого вектора, то есть является нулевым подпространством.

[Joker_vD]

main.c
Ну тогда у $\{\vec0\}$ базиса нет вообще (и размерности тоже), потому что система $\{\vec0\}$ является линейно зависимой ($1\cdot\vec0=\vec0$, а $1\ne0$). Поэтому по той же причине, по которой $\sum_{x\in\varnothing}x=0$, а $\prod_{x\in\varnothing}x=1$, предлагаю доопределить, что $\ell(\varnothing)=\{\vec0\}$, благо ничего плохого от этого не происходит.

Такие вырожденные случаи — вообще довольно забавные штуки. "Точка $A$ не является точкой пересечения кривых $f$ и $g$" = "Точка $A$ является точкой пересечения кривых $f$ и $g$ кратности ноль"...

[ewert]

Joker_vD в сообщении #914434 писал(а):

у $\{\vec0\}$ базиса нет вообще (и размерности тоже)

Первое верно и, соответственно, второе -- нет.

[g______d]

ewert в сообщении #914455 писал(а):

Первое верно

Пустое множество лучше, чем "нет", по всем параметрам. Иначе в слишком большом количестве утверждений придётся делать оговорки.

И до этого момента мне казалось, что пустое множество в качестве базиса нулевого подпространства является общепринятым.

main.c в сообщении #914432 писал(а):

всё-таки линейная оболочка натянутая на пустое множество - это пустое множество

Это плохо, потому что тогда не всякая линейная оболочка будет подпространством. Кроме того, минимальное подпространство, содержащее пустое множество, -- это $\{0\}$.

[main.c]

g______d в сообщении #914456 писал(а):

И до этого момента мне казалось, что пустое множество в качестве базиса нулевого подпространства является общепринятым.

Это плохо, потому что если пустое множество - базис, то любой вектор должен линейно выражатся через его вектора, берём нулевой вектор и видим, что он не выражается через базис, так как там вообще нет векторов, получили в общем-то противоречие.

[g______d]

main.c в сообщении #914467 писал(а):

не выражается

Выражается,

Joker_vD в сообщении #914434 писал(а):

по той же причине, по которой $\sum_{x\in\varnothing}x=0$, а $\prod_{x\in\varnothing}x=1$

-- Ср, 01 окт 2014 21:50:40 --

Два цитированных равенства мне тоже казались общепринятыми. И удобными, потому что тогда верна формула

$$ \sum\limits_{x\in A\cup B}x=\sum\limits_{x\in A}x+\sum\limits_{x\in B}x-\sum\limits_{x\in A\cap B}x, $$

без разбора случаев.

[main.c]

g______d в сообщении #914468 писал(а):

main.c в сообщении #914467 писал(а):

не выражается

Выражается,

Joker_vD в сообщении #914434 писал(а):

по той же причине, по которой $\sum_{x\in\varnothing}x=0$, а $\prod_{x\in\varnothing}x=1$

Я просто не знаком с причинами по которым верны данные равенства. Так принято по определению?

-- 02.10.2014, 07:56 --

И даже если мы так примем по определению - это ведь все равно не доказывает теорему из моего 1 сообщения для случая всего пространстваи (все равно прийдётся делать оговорку), или всё-таки доказывает?

[g______d]

main.c в сообщении #914469 писал(а):

И даже если мы так примем по определению - это ведь все равно не доказывает теорему из моего 1 сообщения для случая всего пространстваи (все равно прийдётся делать оговорку), или всё-таки доказывает?

А если "базис, сопряжённый к ..." заменить на "линейную оболочку базиса, сопряжённого к ..."?

-- Ср, 01 окт 2014 22:07:34 --

main.c в сообщении #914379 писал(а):

базиса $\{e_1, ..., e_n, e_{n+1}, ..., e_m\}$ в $V$, а потом доказывалось, что базис сопряжённый к $\{e_{n+1}, ..., e_m\}$

Кстати, так не очень хорошо говорить. Не понятно, что такое сопряжённый базис к подмножеству базиса. Видимо, имелся в виду сначала базис, сопряжённый к $\{e_1, ..., e_n, e_{n+1}, ..., e_m\}$, а потом из него выделили последние $m$ элементов по порядку. В случае всего пространства выделенное подмножество функционалов будет пустым, и для правильного ответа нужно заменить множество на его линейную оболочку.

[main.c]

g______d в сообщении #914472 писал(а):

main.c в сообщении #914469 писал(а):

И даже если мы так примем по определению - это ведь все равно не доказывает теорему из моего 1 сообщения для случая всего пространстваи (все равно прийдётся делать оговорку), или всё-таки доказывает?

А если "базис, сопряжённый к ..." заменить на "линейную оболочку базиса, сопряжённого к ..."?

Может я не совсем Вас понял, мы ведь ищем набор линейных функций и доказываем, что сопряжённый базис таковым является, так что просто заменить не получится.