Принцип наименьшего действия vs. Уравнения движения

[AshotTheSheriff]

Здравствуйте.

В рамках дискуссии на тему "Что является более фундаментальным законом природы - принцип наименьшего действия или законы движения сами по себе?" возник следующий вопрос: существуют ли физические системы, формулировка уравнений движения для которых невозможна (или, в более слабом варианте, крайне затруднительна) без использования принципа наименьшего действия (т.е. при условии, что функцию Лагранжа системы можно составить из вполне разумных соображений, не опираясь на составленные априори уравнения движения)?

Заранее извиняюсь, если данная тема не соответствует разделу, в котором она опубликована.

Спасибо.

[Munin]

AshotTheSheriff в сообщении #909009 писал(а):

В рамках дискуссии на тему "Что является более фундаментальным законом природы - принцип наименьшего действия или законы движения сами по себе?"

Это где была такая дискуссия?

AshotTheSheriff в сообщении #909009 писал(а):

возник следующий вопрос: существуют ли физические системы, формулировка уравнений движения для которых невозможна (или, в более слабом варианте, крайне затруднительна) без использования принципа наименьшего действия (т.е. при условии, что функцию Лагранжа системы можно составить из вполне разумных соображений, не опираясь на составленные априори уравнения движения)?

С одной стороны, уравнения движения вообще всегда можно вытащить из эксперимента. В этом плане, они от принципа наименьшего действия не зависят. Если их постулировать, то это ничем не лучше и не хуже, чем постулировать функцию Лагранжа.

С другой стороны, мне вспоминаются пара примеров:
1. Движение безмассовой частицы - в уравнении движения исчезает натуральный параметр. С точки зрения принципа наименьшего действия, ничего особенного не происходит, просто геодезическая становится светоподобной.
2. Калибровочные поля. В лагранжиане группы симметрии появляются естественным образом, а вот в уравнениях движения - менее естественным.

[amon]

Так (стартуют с функции Лагранжа) поступают довольно часто в микроскопических теориях. Выясняют группу симметрии рассматриваемой задачи (какие преобразования оставляют рассматриваемую физическую систему неизменной) и пытаются подобрать по возможности самую простую функцию (скалярную), не меняющуюся при таких преобразованиях. Ее объявляют функцией Лагранжа и проверяют следствия из полученных уравнений движения.

[AshotTheSheriff]

Данный вопрос актуален прежде всего по следующей причине. Один из участников вышеописанной дискуссии высказал мнение, что для того, чтобы из принципа наименьшего действия получить хотя бы элементарные уравнения Ньютона необходимо знать, к чему стремиться, так как в отличие от этих самых уравнений, содержащих вполне понятные и доступные прямому измерению величины, действие в классической теории является довольно непонятной конструкцией, получение из которой уравнений движения является всего навсего удобным математическим приемом, который не содержит никакого глобального смысла. Подобное же рассуждение как бы распространяется в том числе и на фундаментальные взаимодействия в микро- и макромире, т.е. несмотря на то, что из принципа наименьшего действия можно эвристически построить уравнения движения, подобная процедура приводит к успеху только за счет того, что принцип построения лагранжиана заведомо продиктован соображениями, которые следуют из уже известных физических теорий.

В общем, есть мнение, что принцип стационарного действия является всего навсего простым математическим трюком, который позволяет в некоторых случаях удобно формулировать физические теории и получать уравнения движения физических систем и не является при этом поистине фундаментальным принципом природы (в том смысле, в который в него вкладывали, например, древнегреческие философы, говоря, что "любое движение в природе происходит самым простым и доступным способом").

[Munin]

AshotTheSheriff в сообщении #909240 писал(а):

Один из участников вышеописанной дискуссии

Повторно спрашиваю: что за дискуссия?
Интересует уровень участников и дискуссии, организация.

[fizeg]

(Оффтоп)

Наверное стоит сделать одну тему про "философозатыкательную" философию науки и отсылать туда когда всплывает это дурацкое, но распространенное "только математический трюк" и родственные им разговоры про "физический смысл". Хотя наверняка такое уже было?

[Munin]

(Оффтоп)

Нет, отдельно и специально - не было. Я иногда распинался, но по месту.

Напишите - будет здорово.

[fizeg]

Понимаете ли, кроме определенного сорта фанатов, обычно никто не считает какие-либо принципы этакими заповедями, которые Его Макароннейшая Десница выбила в камне, и только так теперь природу надо понимать. На одну и ту же модель можно смотреть по-разному. Каждый из способов будет подчеркивать какие-то отдельные свойства. Иногда какой-то из способов (например Лагранжева и Гамильтонова механики) оказывается характерным для очень широкого класса моделей. И если в классической физике это может поначалу показаться некой навороченной мутью, они оказываются связаны с очень важными чертами физики более фундаментального уровня. Например в квантовой механике есть такая вещь, как интеграл по путям, с которым принцип наименьшего действия оказывается очень тесно связан.

-- 18.09.2014, 22:39 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #909286 писал(а):

Напишите - будет здорово.

Мне б про сохранение момента импульса в ЭПР найти время написать....

[Munin]

Насчёт принципов: верно, конечно, что принципы - не заповеди. Но есть другой аспект, более практический. Каждый принцип служит некоторым "топливом" и источником идей для теоретиков, и вот в этом качестве они неравнозначны. Какие-то формулировки никуда не ведут, а какие-то - рождают феерверк вариантов, приложений, широких и глубоких связей с другими теориями. Например, один и тот же закон Ньютона можно записать в "школьном" виде, а можно в виде уравнения Пуассона, но первый способ почти ничего не даёт, а второй способ ведёт к теории поля, к огромным связям и последствиям. Поэтому, неформальные идеи и представления в целом не менее важны, чем отлитые в граните результаты. Просто они важны на другом этапе и для другой цели.

В этом плане, есть такое эмпирическое наблюдение: чем более удачной была идея в прошлом, тем больше она может ещё принести в дальнейшем.

[AshotTheSheriff]

Если уж очень интересно, то в этой "дискуссии" принимали участие и профессора, и кандидаты и просто студенты. Область научных интересов участников - в первую очередь, физика высоких энергий.

[Munin]

Ну, это уже лучше. Значит, не просто философы собрались, как, видимо, предположил fizeg.

(Оффтоп)

Хотя есть ещё один свободный параметр: количество выпитого :-)

[AshotTheSheriff]

Ну вот, например, вернёмся к тем же фундаментальным полям. Конечно формулировка таких теорий на языке лагранжианов давно уже является общепринятым и крайне удобным способом, однако ведь можно же (и в ряде случаев весьма нехитрым способом) составить сразу уравнения движения и на них продемонстрировать те же самые свойства, которыми обладает лагранжиан (хотя и понятно, что симметрии в таком случае очевидны далеко не сразу). Получается, что принцип наименьшего действия хоть и является крайне полезным, но является при этом просто формой выражения законов природы, эквивалентной уравнениям движения. И никакого нового смысла сам по себе не содержит.

Возможно еще стоит сказать, что сама эта пресловутая дискуссия началась с выражения о том, что студентам при изучении теоретической физики "запудривают мозг" тем, что уравнения движения получаются именно из принципа наименьшего действия, а он сам по себе никакой более глубокой идеи, чем уравнения движения, не содержит.

Прошу прощения, что объясняюсь крайне витиевато, ибо сам чего-то не понимаю.

[Munin]

Если несколько вещей эквивалентны между собой, то можно про любую из них сказать, что она "не содержит более глубокой идеи". Но в таком заявлении тоже не будет никакой глубокой идеи.

Более глубокая идея содержится здесь: post909309.html#p909309 . Например, полагая, что уравнения движения получаются из принципа наименьшего действия, получается лучше угадывать законы физики, чем просто думая об уравнениях движения, и пытаясь их "сразу составить".

Разница примерно как между решением уравнения по разработанному методу, и попытками угадать решение, подставляя наугад какие-то числа.

[casualvisitor]

(Оффтоп)

fizeg в сообщении #909285 писал(а):

Наверное стоит сделать одну тему про "философозатыкательную" философию науки и отсылать туда когда всплывает это дурацкое, но распространенное "только математический трюк" и родственные им разговоры про "физический смысл". Хотя наверняка такое уже было?

По-моему, было бы полезно у ищущих "физический смысл" спрашивать что они под "физическим смыслом" разумеют. И коллекционировать ответы, в частности, примеры этого "смысла". Я не шучу, мне кажется, что от такой коллекции могла бы быть некоторая польза.

[Munin]

(Оффтоп)

casualvisitor в сообщении #909466 писал(а):

Я не шучу, мне кажется, что от такой коллекции могла бы быть некоторая польза.

Демонстрировать её новым "искателям" как кунсткамеру глупостей и невнятностей. Впрочем, многие "искатели" не проникнутся сарказмом (а некоторые проникнуться якобы "мудростью", и начнут спорить и развивать).