Колебания тонкостенной трубки

[pisunmosh]

Внутри неподвижного горизонтального цилиндра радиуса R находится тонкостенный цилиндр радиуса r (r=r/3), который катится по поверхности большего цилиндра без проскальзывания. Найдите период малых колебаний малого цилиндра.
Не совсем понимаю, с чего начать рассматривать систему. Она визуально похожа на математический маятник, однако что-то мне говорит, что это неверный ход мышления.

[arseniiv]

pisunmosh в сообщении #908961 писал(а):

Не совсем понимаю, с чего начать рассматривать систему.

С написания дифура, например. А это написание — рассмотрев маленький цилиндр отклонённым на какой-то направленный угол $\alpha$ от положения равновесия. Какие силы действуют, как они влияют на угол?

-- Чт сен 18, 2014 00:30:19 --

(Ну и учтя малость колебаний и получив уравнение гармонических колебаний, по нему сможете найти период.)

[Oleg Zubelevich]

pisunmosh в сообщении #908961 писал(а):

Не совсем понимаю, с чего начать рассматривать систему.

С выписывания закона сохранения энергии в терминах, скажем , угла поворота маленького цилиндра. Причем сначала написать честное уравнение. Линеризовывать (учитывать малость) -- потом.

[Munin]

По названию подумал, что речь о колебаниях трубки как упругого тела. А тут всего лишь качания.

Oleg Zubelevich
Для вас: малый цилиндр случайно оказался повёрнут на малый угол $\alpha$ относительно оси большого цилиндра. Длина малого цилиндра $L$ (большой бесконечен). Как изменится ответ к задаче? :-)

[Oleg Zubelevich]

так по роже надо тому, кто случайно повернул...

Введем неподвижную декартову систему координат $OXYZ$; ускорение свободного падения $\overline g=-g\overline e_z$. Неподвижный цилиндр: $f(X,Y,Z)=Y^2+Z^2-R^2=0$. Подвижный цилиндр: высоты $2L$, радиуса $r$. $S$ -- центр масс; $A_i,\quad i=1,2$ -- центры торцевых окружностей; $B_i$ -- соответствующие точки на торцевых окружностях, которыми внутренний цилиндр касается внешнего.
$$\overline{OS}=x\overline e_x+y\overline e_y+z\overline e_z,\quad\overline{A_iB_i}=p_i\overline e_x+q_i\overline e_y+r_i\overline e_z)$

$$\overline{SA}_1=-\overline{SA}_2=L(\sin\theta(\cos\alpha\overline e_x+\sin\alpha\overline e_y)+\cos\theta\overline e_z).$$

Кинематические уравнения:

$$f(\overline{OB}_i)=0,\quad (\overline{SA}_i,\overline{A_iB_i})=0,\quad\overline {v}_{S}+[\overline \omega,\overline{SB}_i]=0,\quad\overline {v}_{S}+[\overline \omega,\overline{SA}_i]=\overline v_{A_i},\quad |\overline{A_iB_i}|^2=r^2 $$

$x,y,z,p_i,q_i,r_i,\theta,\alpha,\overline\omega$ -- 14 параметров
независимых уравнений должно получиться 13 т.к. интуитивно это одна степень свободы. В качестве динамического уравнения можно взять интеграл энергии. Продолжение оставляется энтузиастам.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #909384 писал(а):

так по роже надо тому, кто случайно повернул...

В жизни ничего не бывает точно, в отличие от математики :-)

Oleg Zubelevich в сообщении #909384 писал(а):

Продолжение оставляется энтузиастам.

Поленились :-)

Я ждал ответа вида: "поправка к потенциалу будет порядка $\alpha^{\ldots},$ к периоду порядка $\alpha^\ldots$".

[Oleg Zubelevich]

не хватает уравнений $\overline v_{B_i}=\overline {v}_{S}+[\overline \omega,\overline{SB}_i]$ так для порядка...