Разложение функции в ряд

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка: Разложить в ряд Маклорена функцию

$$f(x) = \frac{3x-\sin(3x)}{x^2}$$

и найти интервал сходимости ряда к $f(x)$.

Переписываю функцию в виде

$$f(x) = \frac{3}{x} - \frac{\sin(3x)}{x^2}$$

Вторую дробь понимаю как раскладывать, а вот с первой, которая $\frac{3}{x}$, что делать -- непонятно. Подскажите, пожалуйста, как тут быть.

[SpBTimes]

Ну прямо такую функцию - нельзя. Но по непрерывности если ее доопределить, то можно.
Первое слагаемое уйдет при разложении, не надо разбивать на сумму

[Roxkisabsver]

Ну уж если мы раскладываем в ряд Маклорена, то в окрестности какой точки раскладываем?

[SpBTimes]

Roxkisabsver
Ну уж если в Маклорена, то понятно в окрестности какой.

[мат-ламер]

Limit79 в сообщении #908189 писал(а):

Разложить в ряд Маклорена функцию

Может в ряд Лорана? (Звучание схоже).

(Оффтоп)

Не заметил, что в числителе члены сокращаются.

[Roxkisabsver]

SpBTimes в сообщении #908196 писал(а):

Roxkisabsver
Ну уж если в Маклорена, то понятно в окрестности какой.

Ах да, в вечерней запарке перепутал одно с другим .

[Limit79]

SpBTimes в сообщении #908191 писал(а):

Первое слагаемое уйдет при разложении, не надо разбивать на сумму

То есть так:

$$\sin(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot x^{2n+1}$$

тогда

$$\sin(3x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot (3x)^{2n+1}$$

и

$$3x-\sin(3x) = 3x-\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot (3x)^{2n+1} = 3x- 3x -\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot (3x)^{2n+1} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n+1)!} \cdot (3x)^{2n+1}$$

и

$$\frac{3x-\sin(3x)}{x^2} = \frac{1}{x^2} \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n+1)!} \cdot (3x)^{2n+1} = 3 \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \cdot 9^n}{(2n+1)!} \cdot x^{2n-1}$$

?

-- 15.09.2014, 22:32 --

Roxkisabsver в сообщении #908193 писал(а):

Ну уж если мы раскладываем в ряд Маклорена, то в окрестности какой точки раскладываем?

$x_{0}=0$

-- 15.09.2014, 22:33 --

мат-ламер в сообщении #908198 писал(а):

Может в ряд Лорана? (Звучание схоже).

Нет, в ряд Маклорена...

[SpBTimes]

Limit79
Да, так. Только я еще раз говорю, что функцию надо модифицировать.

[Limit79]

SpBTimes
Спасибо. А как можно грамотно аргументировать, что функцию надо доопределить в нуле?

$$f(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{3x-\sin(3x)}{x^2}, \text{при } x \neq 0 \\ 0, \text{при } x=0 \\ \end{matrix}\right.$$

И так ли доопределить?

[SpBTimes]

Ну да. Так.

[Dan B-Yallay]

Limit79
А что там аргументировать, если у вас изначально функция была определена с иксом в знаменателе?

TAK!

[Limit79]

SpBTimes
А почему нужно доопределять? Потому что исходная функция не определена в нуле, а надо разложить как раз в ряд Маклорена?

Иначе говоря: так как функция не определена в нуле, то ее нельзя разложить в ряд Маклорена (но можно, если доопределить)?

[SpBTimes]

Limit79
Конечно нельзя, ведь первый член в разложении у вас $f(0)$. Да и дифференцируемость требует, чтобы ф-я была определена в точке.

[Limit79]

SpBTimes
А значение, которым доопределяем, находить из $\lim\limits_{x \to 0} \frac{3x-\sin(3x)}{x^2}$ ?

[SpBTimes]

Limit79
Ага