Электростатический потенциал

[tech]

Здравствуйте.
Не могу до конца разобраться с понятием "потенциал". То, что мне понятно: если есть какая-то система зарядов, то можно ввести функцию $\varphi(\textbf{r})$, определённую в каждой точке пространства, такую, что $\textbf{E}(\textbf{r})=-\operatorname{grad}\varphi(\textbf{r})$, это и есть потенциал. Причём функция определена с точностью до произвольной постоянной, так как важно только её изменение.
Но в конкретных задачах мне не совсем понятно, как работать с этой функцией.
К примеру вот: пусть точечный заряд $q$ находится на расстоянии $d$ от центра проводящего шара. Требуется определить силу притяжения между шаром и зарядом. Шар изолирован, а полный его заряд равен нулю.

Как решать эту задачу, я знаю, и я даже получил ответ (убрали шар; поместили один заряд в место, где был его центр; ещё один – на прямую, соединяющую центр и заряд $q$ – в общем, метод изображений).
И именно при решении этой задачи у меня начали возникать затруднения с тем фактом, что потенциал определён с точностью до постоянной.
Потенциал внутри шарика равен $q/d$, но нам ведь ничего не мешает сказать, что теперь потенциал в каждой точке пространства будет равен $\varphi_{\operatorname{new}}=\varphi-q/d$. И теперь потенциал шарика вроде как равен $0$. И теперь нам даже второй заряд в центр шара помещать не нужно. Достаточно одного, чтобы скомпенсировать на поверхности потенциал заряда $q$ (а почему бы ещё, кстати, не взять потенциал одного заряда $q/r+10$, другого –– $Q/R+25$?). И сила притяжения между шаром и зарядом получится другой. Короче, ничего не понимаю. Где-то брешь.

[мат-ламер]

Эта задача не на тему потенциала. Не путайте его с зарядом, который в законе Кулона.

[amon]

Прежде, чем что-то обсуждать дальше, позвольте узнать
1. $d$ больше или меньше радиуса шара
2. Шар заземлен или как?

PS А задача вполне себе на тему потенциала.

[tech]

d больше радиуса шара, шар не заземлён

[amon]

А тогда можно я отвечу вопросом на вопрос? Вдруг Вы сами обо всем догадаетесь. Что изменится в Вашем решении, если шар будет заземлен?

[tech]

Если шар заземлён, то решение надо искать вот так:
Поместим заряд $Q$ внутрь шара , на отрезок соединяющий центр шара и заряд $q$.
$\varphi_Q(x,y,z)+\varphi_q(x,y,z)=0$, где $(x,y,z)$ - точка, удовлетворяющая уравнению сферы $x^2+y^2+z^2=R^2$. Точка $(0,0,0)$ - центр шара.
$Q/r_Q+q/r_q=0$, $x^2+y^2+z^2=R^2$. Расписываем $R_Q$ и $r_q$. Решаем, получаем $Q=-Rq/d$, $a=R^2/d$ - расстояние от центра шара до заряда $Q$.
При таких $Q$ и $a$ система зарядов $Q$ и $q$ создаёт на поверхности сферы тот же (нулевой) потенциал, а значит вне шара поле не поменяется.

Но затруднения при решении задач на потенциалы у меня возникают из-за того, что потенциал определён с точностью до константы. Почему мы, например, не ищем решение вот так $Q/r_Q+15+q/r_q+20=0$? Почему мы отбрасываем эти константы?
И ещё: "шар заземлён" означает только то, что теперь мы его потенциал будем принимать за нулевой?

[amon]

Замечательно! Вы же все знаете без меня, только прикидываетесь ;) . Если шар не заземлен, то сохраняется заряд. Ваши заряды изображения (плюс исходный) вне шара должны создавать такое же поле, как шар и заряд. Значит условия - шар эквипотенциальная поверхность внутри которой заряд 0 дает решение. Второй заряд в этом случае нужен, что бы внутри шара $Q=0$. Если заземлен шар, то потенциал шара равен потенциалу бесконечности. И в первом, и во втором случае не важно абсолютное значение потенциала, важно лишь, что шар эквипотенциальный и фиксирован заряд (в первом случае) или разность потенциалов во втором (шар заземлен - значит его потенциал равен потенциалу бесконечности, а его можно выбрать как угодно).

[tech]

Ааа, кажется, понял.
И ещё вопрос по поводу заземления. Если заземление означает только то, что теперь потенциал (заземлённого тела) будет равен потенциалу на бесконечности, то почему это так называется?

[DimaM]

tech в сообщении #908023 писал(а):

Если заземление означает только то, что теперь потенциал (заземлённого тела) будет равен потенциалу на бесконечности, то почему это так называется?

"Заземление" - это соединение с проводящим телом большого размера. Считая это большое тело изначально незаряженным, можно легко показать, что потенциал получается примерно нулевой.

[amon]

tech в сообщении #908023 писал(а):

Ааа, кажется, понял.
И ещё вопрос по поводу заземления. Если заземление означает только то, что теперь потенциал (заземлённого тела) будет равен потенциалу на бесконечности, то почему это так называется?

Потому, что Земля считается очень (бесконечно) большой и проводящей.

[tech]

То есть мы считаем, что в бесконечности есть бесконечно большое, электронейтральное и проводящее тело (Земля), соединение с которым и называется заземлением?

[Munin]

Вообще говоря, если быть кристально честным, то Земля не нейтральна. Она заряжена (сравнительно мало). Но при этом, одновременно, она не бесконечно далеко. Она вот тут, рядом. Поэтому, все лабораторные опыты рядом с Землёй - проводятся как будто рядом с бесконечной заряженной плоскостью. Довольно слабо заряженной, и довольно близко рядом. Так что, этим фактом заряженности можно пренебречь, и просто считать Землю нейтральной, а её потенциал - нулевым. Всё равно, если мы понесём что-то из лаборатории "на бесконечность", то мы будем просто ходить пешком по этой Земле, никуда от неё не удалимся, и окажемся в том же самом потенциале Земли.

[tech]

Тогда я всё-таки не понимаю, почему потенциал тела, соединённого с Землёй, равен потенциалу на бесконечности.
В данной конкретной задаче что подразумевается под Землёй? Она где-то в бесконечности?

[Munin]

tech в сообщении #908146 писал(а):

Тогда я всё-таки не понимаю, почему потенциал тела, соединённого с Землёй, равен потенциалу на бесконечности.

Не равен, но на практике говорят, что равен - потому что это не играет роли.

tech в сообщении #908146 писал(а):

В данной конкретной задаче что подразумевается под Землёй? Она где-то в бесконечности?

В данной конкретной задаче под Землёй понимается потенциал на бесконечности. Нулевой, да.

[мат-ламер]

tech в сообщении #907929 писал(а):

Почему мы, например, не ищем решение вот так $Q/r_Q+15+q/r_q+20=0$? Почему мы отбрасываем эти константы?

Константы для потенциалов для разных зарядов не должны выбираться произвольно! Мы должны выбрать в системе какую-ту точку, где потенциал равен нулю. Например, пусть это будет бесконечная точка. Можете в бесконечности сделать потенциал, равный 15. Тогда в написанном вами уравнении 15 и -15 сократятся.

-- Пн сен 15, 2014 20:54:22 --

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #907819 писал(а):

Эта задача не на тему потенциала

Я раньше считал, что такие задачи - на тему искуственных геометрических манипуляций с фиктивными зарядами. Давно это дело проходил. Сейчас прочитал - действительно, во главе угла - потенциал.

-- Пн сен 15, 2014 20:58:22 --

tech в сообщении #907929 писал(а):

И ещё: "шар заземлён" означает только то, что теперь мы его потенциал будем принимать за нулевой?

Я думаю, это означает, что потенциал шара равен потенциалу бесконечно удалённой точки.