Отклонение изотропных геодезических?

[Lucis]

Правильно ли я понимаю, что имеющееся в ЛЛ и в МТУ уравнение геодезического отклонения неприменимо для описания воздействия ${R^i}_{klm}$ на световые лучи по той же причине, что и уравнение движения частиц в гравитационном поле - для распространения светового сигнала, - поскольку и в этом случае $ds = 0$?

А если я прав, и если тензор кривизны действительно может отклонять не только движущиеся массивные частицы, но и световые лучи, - то где можно найти искомое уравнение, в котором фигурировали бы тензор кривизны и волновой вектор? (Или здесь возможно использовать и исходное уравнение, если заменить в нем скорость на волновой вектор, а параметр $s$ - на $\lambda$?) И как уравнение должно быть переписано для случая отклонения кривизной светового луча от движущейся массивной частицы?

[Munin]

Lucis в сообщении #905308 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что имеющееся в ЛЛ и в МТУ уравнение геодезического отклонения неприменимо для описания воздействия ${R^i}_{klm}$ на световые лучи по той же причине, что и уравнение движения частиц в гравитационном поле - для распространения светового сигнала, - поскольку и в этом случае $ds = 0$?

Не помню, как в МТУ, там вроде очень корректненькие формулы.

Если брать ЛЛ-2, то достаточно домножить формулу на $ds$ в нужной степени, убрав её из знаменателя, и получится формула, корректная в том числе и для изотропной линии $ds=0.$ Конечно, ЛЛ паршивцы, что сами этого не сделали. Но в их общий стиль "додумайся сам" это укладывается :-)

Lucis в сообщении #905308 писал(а):

А если я прав, и если тензор кривизны действительно может отклонять не только движущиеся массивные частицы, но и световые лучи

Хех, разумеется, может :-) Это известнейший классический тест ОТО - отклонение света Солнцем, и вообще массивным телом, впервые измеренный в 1919 году, а сегодня хорошо изученный как гравилинзирование. А, кроме отклонения, есть ещё и замедление (отклонение в пространственно-временном направлении), это эффект Шапиро, тоже классический тест ОТО.

Описан в том же МТУ, разумеется, и можно глянуть еще в Вайнберга "Гравитация и космология" - там всё отдельно и просто выписано.

[Lucis]

Munin в сообщении #905330 писал(а):

как в МТУ, там вроде очень корректненькие формулы

Да, там временной параметр используется только при описании действия геометрии на материю при его сравнении с законом силы Лоренца, а в общем случае - аффинный параметр.

Munin в сообщении #905330 писал(а):

Если брать ЛЛ-2, то достаточно домножить формулу на $ds$ в нужной степени, убрав её из знаменателя, и получится формула, корректная в том числе и для изотропной линии

То есть уравнение в дифференциалах, которое есть в книге Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ" (и заменой в которой дифференциалов координат на дифференциалы четырехмерного волнового вектора получается искомое уравнение)?

Munin в сообщении #905330 писал(а):

Это известнейший классический тест ОТО - отклонение света Солнцем, и вообще массивным телом, впервые измеренный в 1919 году, а сегодня хорошо изученный как гравилинзирование. А, кроме отклонения, есть ещё и замедление (отклонение в пространственно-временном направлении), это эффект Шапиро, тоже классический тест ОТО.

Я, разумеется, когда-то читал о них, - просто мою мысль с правильного направления почему-то сбила упомянутая в МТУ неприемлемость ввода кривизны в уравнения Максвелла.

А теперь, собственно, я могу поинтересоваться тем, ради чего и создал эту тему: возможно ли было бы сделать движущееся макроскопическое тело произвольной формы - или, для простоты, некоторую сферу, внутри которой находилось бы это тело, - полностью невидимым, если бы существовали некоторые генераторы, которые могли бы создавать вокруг сферы произвольные компоненты тензора кривизны (величины, какая могла бы создаваться массами порядка, допустим, от ${10}^{10}$ до ${10}^{19}$ кг)? (Я, разумется, знаю, что общеизвестные сейчас законы ОТО не позволяют создавать кривизну такой величины без огромных плотностей энергии, - но это же возражение, согласно акад. Александрову, действует и для задачи создания временных петель по Геделю, - так что я интересуюсь этим вопросом скорее в целях пополнения моей коллекции всевозможных предположительных способов придания невидимости).

Так возможно ли вычислить, какие именно компоненты тензора кривизны и в каких именно областях у описанной вокруг материального тела воображаемой сферы для этого потребовалось создать? Была бы решением этой задачи генерация компонентов, которые обусловили бы примерно такое искривление световых лучей вокруг материальной сферы?

[Munin]

Lucis в сообщении #906864 писал(а):

То есть уравнение в дифференциалах, которое есть в книге Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ" (и заменой в которой дифференциалов координат на дифференциалы четырехмерного волнового вектора получается искомое уравнение)?

Не помню наизусть, что там у Рашевского. Вообще тоже хорошая книга, но какая-то у меня настороженность, может быть, я слышал про невнятности или ошибки в ней. Чего проще привести саму формулу?

Lucis в сообщении #906864 писал(а):

А теперь, собственно, я могу поинтересоваться тем, ради чего и создал эту тему: возможно ли было бы сделать движущееся макроскопическое тело произвольной формы - или, для простоты, некоторую сферу, внутри которой находилось бы это тело, - полностью невидимым

А это задача вообще не из ОТО. Это задача чисто электродинамическая. Ответ - да, можно. Как раз на эту тему сравнительно недавно (конец 90-х - 00-е) были получены новые теоретические результаты. Они довольно широко известны в популярной литературе ("шапка-невидимка"), как вы мимо-то прошли?

Lucis в сообщении #906864 писал(а):

если бы существовали некоторые генераторы, которые могли бы создавать вокруг сферы произвольные компоненты тензора кривизны

Таких генераторов не бывает, и главная проблема в том, что не всякие компоненты тензора кривизны вообще можно создать. Иногда обычная материя просто не позволяет сделать ту или иную компоненту отрицательной. Например, на вашем рисунке, можно загибать лучи вокруг сферы в сторону сферы, но нельзя "отгибать" их обратно.

Lucis в сообщении #906864 писал(а):

но это же возражение, согласно акад. Александрову, действует и для задачи создания временных петель по Геделю

Это не "но", это "и". Временные петли-то нельзя создавать, и никто не доказал обратного :-)

[Lucis]

Munin в сообщении #906940 писал(а):

привести саму формулу

${D{\tilde{D}}{\xi}}^i = {{{{R_{{\dot{k}}{\dot{l}},}}^{.}}_{p_{.}}}^i}{{\xi}^p}{{{\tilde{d}}x}^k}{{dx}^l} (106.6)$

(Оффтоп)

Также дам и скриншот формулы, потому что в LaTeX'е точки над нижними индексами тензора кривизны сливаются с ними и практически незаметны, если только не вглядываться пристально:

Munin в сообщении #906940 писал(а):

это задача вообще не из ОТО. Это задача чисто электродинамическая

Вполне возможно, но разве что-то препятствует попытаться решить ее именно в ОТО, особенно если ограничиться случаем геометрической оптики?

Munin в сообщении #906940 писал(а):

Ответ - да, можно. Как раз на эту тему сравнительно недавно (конец 90-х - 00-е) были получены новые теоретические результаты.

Вы говорите о невидимости посредством подбора метаматериалов маскирующей оболочки с определенными электрическими и магнитными свойствами среды? Да, это чрезвычайно интересный результат (особенно если учесть возможность абсолютно полной маскировки и ядерных ракет), - да только электрическая и магнитная проницаемость среды формально аналогичны метрическому тензору (см. общековариантные уравнения Максвелла, в которых роль такой среды играет $g_{00}$) (а в статье "Full-wave invisibility of active devices at all frequencies" кроме проницаемостей рассматривается также контравариантный тензор кондуктивности ${\sigma}^{jk}$, аналогичный метрическому тензору). Моя же задача маскировки чисто геометрическими средствами подразумевает использование тензора кривизны (или, как минимум, связности), но ни в коем случае не статического метрического тензора.

Кстати, правильно ли я догадываюсь, что невидимость посредством полного огибания электромагнитными волнами в оптическом диапазоне неизбежно привела бы и к полной слепоте максируемого объекта?

Munin в сообщении #906940 писал(а):

главная проблема в том, что не всякие компоненты тензора кривизны вообще можно создать. Иногда обычная материя просто не позволяет сделать ту или иную компоненту отрицательной.

Поскольку для этого потребовались бы отрицательные значения $T_{ik}$? Благодарю, это очень интересное и важное возражение, о котором я догадывался до сих пор только на бессознательном уровне.

Впрочем, если ограничиваться рамками экспериментально проверенных законов геометрической динамики, то разве главным возражением не будет огромная плотность энергии полей (источников кривизны), требуемая для этого согласно уравнениям Эйнштейна, и не достигаемая даже в ядерных взрывах, - что не позволит создать даже положительные компоненты тензора кривизны требуемой величины? (А если бы и были некоторые неизвестные сейчас законы физической геометрии, которые позволяли бы искривлять пространство-время меньшими энергиями, то там вполне могли бы иметься другие ограничения, которые сводили бы эффект невидимости к нулю - например, какие-нибудь излучения от генераторов кривизны, которые исходили бы от формально невидимых беспилотных самолетов с термоядерной начинкой, и позволяли бы выявлять такие атаки с помощью специальной аппаратуры).

И разве нет других возражений - относительно моего рисунка? Да, он очень похож на изображение невидимости посредством окружения тела маскирующей оболочкой "шапки-невидимки", - но он не охватывает все точки на поверхности сферы, куда могло бы попадать излучение.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #906940 писал(а):

Это не "но", это "и".

Да, если говорить о возможной невозможности практического решения этих задач, это будет "и", - но если говорить о возможности попыток вычисления требуемых условий даже с учетом их потенциальной нереализуемости, это будет все-таки "но".

Munin в сообщении #906940 писал(а):

Временные петли-то нельзя создавать

Поскольку для их создания по Геделю необходимо изменять и диагональные компоненты $g_{ik}$, так что этот вопрос, к сожалению, выпадает из круга моих интересов, не стану спорить (хотя я и не был бы против узнать конкретные причины, делающие этот процесс невозможным).

Munin в сообщении #906940 писал(а):

никто не доказал обратного :-)

В смысле - никто не пришел из будущего, уровень НТП которого позволял бы создавать временные петли? Но если бы создание временных петель все-таки оказалось бы возможным, думаю, что гипотетические путешественники во времени имели бы как причины маскироваться под обычных людей (хотя бы для того, чтобы не подвергаться допросам с пристрастием относительно научно-технической, исторической и прочей полезной информации), так и возможности (например, какое-нибудь психологическое оружие, превосходящее эриксонианский гипноз, как и он превосходит гипноз классический).

[Munin]

Lucis в сообщении #907541 писал(а):

Вполне возможно, но разве что-то препятствует попытаться решить ее именно в ОТО, особенно если ограничиться случаем геометрической оптики?

А это одно и то же, только будет важность распирать от произнесения умных слов "ОТО", "искривлённое пространство-время". Дело в том, что электродинамика в статическом гравитационном поле - это просто электродинамика в среде с переменным показателем преломления.

Lucis в сообщении #907541 писал(а):

Моя же задача маскировки чисто геометрическими средствами подразумевает использование тензора кривизны (или, как минимум, связности), но ни в коем случае не статического метрического тензора.

Тут у вас какая-то путаница. Это одно и то же. Где есть метрический тензор - там есть и тензор кривизны. Если в каких-то формулах написан один, то эти формулы можно переписать так, чтобы в них стоял другой. Потому что один - просто функция другого.

Lucis в сообщении #907541 писал(а):

Кстати, правильно ли я догадываюсь, что невидимость посредством полного огибания электромагнитными волнами в оптическом диапазоне неизбежно привела бы и к полной слепоте максируемого объекта?

Наверное, да :-) А деталей я не знаю. Может быть, можно изымать произвольно малый % от падающего оптического потока, и использовать его для разглядывания окрестностей. В любом случае, это уже какая-то вторичная задача, более простая.

Lucis в сообщении #907541 писал(а):

Впрочем, если ограничиваться рамками экспериментально проверенных законов геометрической динамики, то разве главным возражением не будет огромная плотность энергии полей (источников кривизны), требуемая для этого согласно уравнениям Эйнштейна

Так повторяю: всё, что нужно - это показатель преломления. А его можно сделать гораздо проще, чем высокой плотностью энергии.

Lucis в сообщении #907541 писал(а):

И разве нет других возражений - относительно моего рисунка?

Нет, нету.

Lucis в сообщении #907541 писал(а):

Да, если говорить о возможной невозможности практического решения этих задач, это будет "и", - но если говорить о возможности попыток вычисления требуемых условий даже с учетом их потенциальной нереализуемости, это будет все-таки "но".

Всё равно "и" :-)

Lucis в сообщении #907541 писал(а):

Поскольку для их создания по Геделю необходимо изменять и диагональные компоненты $g_{ik}$,

Чё-то у вас очень плохо иногда с пониманием дифференциальной геометрии. Диагональные или недиагональные компоненты - это всё не важно. Метрический тензор подбором системы координат может быть вообще заединичен. Единственное, что у него важно - это сигнатура, а она в пространстве Гёделя не нарушается.

Lucis в сообщении #907541 писал(а):

В смысле - никто не пришел из будущего

Ну да, примерно :-)

Lucis в сообщении #907541 писал(а):

Но если бы создание временных петель все-таки оказалось бы возможным, думаю, что гипотетические путешественники во времени имели бы как причины маскироваться под обычных людей

Это уже ненаучная фантастика :-)

[Lucis]

Munin в сообщении #907564 писал(а):

один - просто функция другого

Munin в сообщении #907564 писал(а):

Где есть метрический тензор - там есть и тензор кривизны.

Только в том смысле, что и электромагнитное поле, например, есть везде, - что не препятствует его напряженностям быть равными нулю. А если говорить о ненулевых компонентах тензора кривизны (выражение которого включает в себя производные от связности (и произведения связности), которая определяется через производные от метрического тензора), - то все они могут быть равны нулю (в плоском пространстве), в отличие от компонент метрического тензора (кроме недиагональных).

Munin в сообщении #907564 писал(а):

Это одно и то же.

Не всякая компонента $g_{ik}$ и не всегда есть экспоненциальная функция.

Munin в сообщении #907564 писал(а):

Если в каких-то формулах написан один, то эти формулы можно переписать так, чтобы в них стоял другой

Да - повышая или понижая порядок производных.

Munin в сообщении #907564 писал(а):

Диагональные или недиагональные компоненты - это всё не важно.

Компоненты несимметричного $g_{ik}$ при $i = k$ не есть компоненты его антисимметричной части.

[Munin]

$g_{ik}$ симметричен.

[Toucan]

Lucis в сообщении #907541 писал(а):

Вручную мне ее лень набирать

Тем не менее, придется набрать, если, конечно, не хотите, чтобы тема осталась в Карантине.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.