2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Схемы аксиом и Теоремы Гёделя
Сообщение10.09.2014, 01:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4136
Не являясь специалистом в дисциплинах мат.логики, споткнулся о непонимание простых вопросов (односложных ответов на некоторые за разумное время найти не получилось). Я сформулирую свои вопросы утверждениями и буду благодарен хотя бы за пару-тройку букв ответа на каждый из них (можно сократить и до И/Л :)
    1. Аксиоматика Пеано для арифметики содержит бесконечное количество аксиом (в логике первого порядка).
    2. В этом "виновата" аксиома (схема аксиом) индукции.
    3. Эта схема содержит счётное количество аксиом.
    4. Существуют теории, основанные на несчётном количестве аксиом.
    5. Теория, в которой работает трансфинитная индукция, где-то в основаниях содержит схемы аксиом, равносильные несчётному набору аксиом в логике первого порядка.
    6. Если континуум-гипотеза не принята, то количество аксиом в какой-нибудь теории может быть между счётным и несчётным.
    7. В условиях теорем Гёделя нет ограничения сверху на количество аксиом, следовательно она остаётся в силе для теорий с количеством аксиом любой мощности.
    8. Доказательство теорем Гёделя может быть проведено явным (конструктивным) построением нужных невыводимых утверждений в теориях с количеством аксиом любой мощности.
Здесь, конечно, есть совершенно очевидные утверждения, но я их оставляю в интересах списка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Схемы аксиом и Теоремы Гёделя
Сообщение10.09.2014, 01:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20734
Уфа
1, 2, 3 — да.
4 — как правило, формул теории счётное число, тогда несчётное число аксиом туда не влезет. Об используемости теорий с несчётным числом формул ничего не скажу.
6 — уточните вопрос. Любое множество, большее по мощности счётного, называется несчётным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Схемы аксиом и Теоремы Гёделя
Сообщение10.09.2014, 01:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4136
arseniiv в сообщении #906086 писал(а):
6 — уточните вопрос. Любое множество, большее по мощности счётного, называется несчётным.

Я про континуум, конечно.
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Схемы аксиом и Теоремы Гёделя
Сообщение10.09.2014, 07:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5822
grizzly в сообщении #906083 писал(а):
5. Теория, в которой работает трансфинитная индукция, где-то в основаниях содержит схемы аксиом, равносильные несчётному набору аксиом в логике первого порядка.
Нет. Например, ZFC содержит счетное количество аксиом.

Про теории с несчетным числом аксиом - это возможно только в случае, когда в алфавите несчетное число символов, такое обычно не рассматривается. У теоремы Геделя в условиях есть рекурсивная аксиоматизируемость, если ее каким-то разумным образом определить на строках над несчетным алфавитом, то доказательство теоремы Геделя должно пройти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Схемы аксиом и Теоремы Гёделя
Сообщение10.09.2014, 08:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4136
Уф! могу пока спокойно жить дальше.
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group