Сумма обратных квадратов

[MestnyBomzh]

Здравствуйте! Как можно доказать сходимость ряда обратных квадратов? (Только начали изучать ряды)

[ИСН]

Ну, он не очень сильно больше, чем $1\over n(n+1)$, который...

[kp9r4d]

Ещё довольно просто соответствующий несобственный интеграл посчитать. А есть теорема известная, о том что для монотонно невозрастающей, неотрицательной, интегрируемой на любом отрезке, содержащемся в $[1..+\infty)$, функции $f(x)$ несобственный интеграл $\int_1^{+\infty} f(x) dx$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum_{n=1}^{+\infty} f(n)$.

[Brukvalub]

Ряд $\sum{a_n}$ из монотонно убывающих положительных членов сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum{2^na_{2^n}}$

[ewert]

kp9r4d в сообщении #905537 писал(а):

, интегрируемой на любом отрезке,

Это-то ещё зачем?...

[kp9r4d]

Для функций, для которых это не выполняется не очень понятно как вообще определять $\int_1^{+\infty} f(x) dx$, а уж тем паче говорить о сходимости-расходимости этого.
Заглянул в Зорича I (с.391) там тоже это требуют. Ну не совсем это, но если не особо придираться, то почти что это.

[ewert]

kp9r4d в сообщении #905582 писал(а):

Заглянул в Зорича I (с.391) там тоже это требуют.

Ну уж от Зорича никак этого не ожидал. Как может монотонная функция быть неинтегрируемой?...

[kp9r4d]

ewert
Действительно. На самом деле там даже фактических ошибок сейчас много, учебник новый относительно, видимо ещё не выверили, я собрал небольшую коллекцию оных (ваше замечание тоже добавлю), как соберу побольше — пошлю в редакцию.

[Otta]

kp9r4d

(Оффтоп)

Определение непрерывности в точке исправили хоть?
PS Ничё се новый.

[kp9r4d]

Otta

(Оффтоп)

Нет, найденные мною ошибки касаются лишь явных опечаток в упражнениях, а что не так с непрерывностью в точке? Подвоха не заметил. ): И с новизной перегнул явно, да.

[Евгений Машеров]

Сравнить с рядом с общим членом $\frac 1 {n(n-1)}=\frac 1 {n-1} - \frac 1 n$

[ewert]

(Оффтоп)

Евгений Машеров = ИСН ?...

[ИСН]

(Оффтоп)

У меня намёк тоньше.

[SpBTimes]

Otta

(Оффтоп)

А что было с непрерывностью?

[mihailm]

По признаку Раабе исследуем сходимость.