Вопрос про нахождение перпендекулярного вектора.

[ghetto]

Запишите уравнение плоскости если известны 3 точки: $P_1 = (1, 2, -1), P_2 = (-1, 1, 4), P_3 = (1, 3, -2)$.

Почему нельзя определить $N$ так:

Пусть $N = (a, b, c)$.

$N \cdot (P_2 - P_1) = - 2a - b + 5c = 0$, тогда $N = (1, 3, 1)$ ?

[ewert]

ghetto в сообщении #904699 писал(а):

$N \cdot (P_2 - P_1) = - 2a - b + 5c = 0$, тогда $N = (1, 3, 1)$ ?

А когда "тогда"-то?... что из чего следует -- и что из чего должно?

[angor6]

ghetto, координаты точки записываются без знака равенства после её обозначения. Что Вы обозначили через $N$ и $P_2-P_1$?

[ewert]

angor6 в сообщении #904708 писал(а):

координаты точки записываются без знака равенства после её обозначения. Что Вы обозначили через $N$ и $P_2-P_1$?

Вот это всё как раз исключительно дело вкуса. Красиво жить не запретишь; можно и так обозначать для себя, если покажется удобным.

[mihailm]

ghetto в сообщении #904699 писал(а):

...Пусть $N = (a, b, c)$.
$N \cdot (P_2 - P_1) = - 2a - b + 5c = 0$, тогда $N = (1, 3, 1)$ ?

А почему не $(0,5,1)$?

[ghetto]

ewert, angor6


Уравнение плоскости:

$X \cdot N = P \cdot N$, где $N$ - вектор, перпендекулярный плоскости, $X$ и $P$- точки на плоскости.


$P_2 - P_1 $- вектор между $P_2$ и $P_1$ на плоскости: $P_2 - P_1 = (-1, 1, 4) - (1, 2, -1) = (-2, -1, 5)$

$N = (a, b, c)$ перпендекулярен $P_2 - P_1 $: $N \cdot P_2 - P_1 = 0$.

mihailm,

Это так и есть, но почему?

[ewert]

ghetto, независимо от обозначений (которые у Вас и впрямь корявые, но это в данном случае совсем не смертельно) -- призадумайтесь, почему я и mihailm сказали ровно одно и то же. Если поймёте, почему -- скорее всего, всё у Вас получится.

[angor6]

ewert в сообщении #904719 писал(а):

angor6 в сообщении #904708 писал(а):

координаты точки записываются без знака равенства после её обозначения. Что Вы обозначили через $N$ и $P_2-P_1$?

Вот это всё как раз исключительно дело вкуса. Красиво жить не запретишь; можно и так обозначать для себя, если покажется удобным.

ewert, для себя, конечно, можно...

[ghetto]

ewert в сообщении #904750 писал(а):

ghetto, независимо от обозначений (которые у Вас и впрямь корявые, но это в данном случае совсем не смертельно) -- призадумайтесь, почему я и mihailm сказали ровно одно и то же. Если поймёте, почему -- скорее всего, всё у Вас получится.

На стр. 47 этого документа PDF есть полное решение задачи(пример 6). Зачем требуется использовать 2 уравнения для нахождения значения $N$?

[angor6]

ghetto, скалярное произведение векторов не является вектором, по-моему. Вы не согласны?

[ewert]

ghetto в сообщении #904755 писал(а):

Зачем требуется использовать 2 уравнения для нахождения значения $N$?

Затем хотя бы, что это -- вопрос идеологический. Сколько неизвестных переменных содержится в том самом $N$?... и сколько нужно уравнений, чтобы определить все эти неизвестные хотя бы более-менее однозначно?...

Вот пока Вы на этот тривиальный вопрос себе не ответите -- так и будете тыркаться.

[mihailm]

ghetto в сообщении #904755 писал(а):

...Зачем требуется использовать 2 уравнения для нахождения значения $N$?

Ну так очевидно же стало, что с одним уравнением какая-то ерунда выходит, вот и пришлось еще уравнение добавить.

[Munin]

angor6 в сообщении #904752 писал(а):

ewert, для себя, конечно, можно...

Как раз не для себя, а вполне формально: $N$ есть имя точки, то есть задаёт её, $(x,y,z)$ есть задание точки тремя координатами, после чего формула вида $N=(x,y,z)$ выражает равенство двух точек. А вот $N(x,y,z)$ требует введения дополнительной нотации.

[angor6]

Munin в сообщении #904776 писал(а):

angor6 в сообщении #904752 писал(а):

ewert, для себя, конечно, можно...

Как раз не для себя, а вполне формально: $N$ есть имя точки, то есть задаёт её, $(x,y,z)$ есть задание точки тремя координатами, после чего формула вида $N=(x,y,z)$ выражает равенство двух точек. А вот $N(x,y,z)$ требует введения дополнительной нотации.

Munin,

(Оффтоп)

об этом можно, но не нужно, рассуждать долго... Суть проблемы в том, что автор вопроса не различает разницу между векторным и скалярным произведениями, по-моему. Более того, он склогяет слово "перпендЕкулярный" в названии темы.

[ghetto]

angor6,

Согласен. Хотя при чем тут это?

ewert,

Пожалуйста, напомните (или отправьте по ссылке) правила типа "если имеется $n$ уравнений и $m$ переменных где $m > n$, тo...и т.п "

mihailm


Как проверить $N \neq (1, 3, 1)$, к примеру??