Тригонометрическое уравнение

[Limit79]

Здравствуйте!

Подскажите, пожалуйста, как решить уравнение

$$\sin(2x)+\tg(x)=2$$

Я пробовал так:

$$\sin(2x)+\tg(x)=2$$

$$2 \sin(x) \cos(x)+\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=2$$

далее везде $\cos(x) \neq 0$

$$2 \sin(x) \cos^2(x)+\sin(x)=2 \cos(x)$$

$$2 \sin(x) \cos^2(x)+\sin(x)-2 \cos(x)=0$$

Далее пробовал как-то это на множители разложить, но не получается...

Заранее спасибо!

[nnosipov]

Попробуйте доказать, что левая часть уравнения монотонна на интервале $(-\pi/2,\pi/2)$.

[Limit79]

nnosipov
Не через производную?

[Someone]

Если выразить $\sin 2x$ через $\tg x$, то получится уравнение третьей степени, у которого один корень легко подбирается.

Limit79 в сообщении #904325 писал(а):

Не через производную?

Упаси боже! (Как я догадался, nnosipov говорит об исходном уравнении, а не о результате ваших преобразований.)

[nnosipov]

Да, конечно об исходном.

[Limit79]

С монотонностью не понял как, а вот если перейти к тангенсам, то все хорошо получается.

Someone
nnosipov
Спасибо!

[nnosipov]

Limit79 в сообщении #904332 писал(а):

С монотонностью не понял как

Производная левой части положительна, это несложно установить.

[Limit79]

nnosipov в сообщении #904333 писал(а):

Производная левой части положительна

Значит левая часть возрастает на этом интервале, а что это дает?

[Evgenjy]

Синус через тангенс половинного угла.

[ewert]

Представьте уравнение (самое что ни на есть исходное) как $\tg x-1=(\sin x-\cos x)^2$ -- там после сокращения как-то всё сильно полегчает.

[Someone]

Someone в сообщении #904326 писал(а):

Упаси боже!

С этим я несколько поспешил, но nnosipov прав, положительность производной легко проверяется, если выразить её через $\cos x$.

Limit79 в сообщении #904332 писал(а):

С монотонностью не понял как

Идея была, видимо, в том, чтобы доказать, что на периоде имеется не больше одного корня, а этот корень легко угадывается.

[ewert]

Someone в сообщении #904340 писал(а):

положительность производной легко проверяется

а зачем дося, если стирать?...