Функция с Экстремумами

[diana_yatsenko]

Существует ли непрерывная функция, каждая точка определения которой была бы экстремальной? (Точкой экстремума).

[Legioner93]

$y=0$

[diana_yatsenko]

Legioner93 в сообщении #902574 писал(а):

$y=0$

Экстремум не в смысле наибольшего значения функции, а в смысле локального максимума (минимума).

[ИСН]

Это он и есть. Только нестрогий.

[Red_Herring]

(Оффтоп)

Напоминает старый советский анекдот:
Теорема Линия КПСС—прямая
Доказательство В каждой точке перегиб $\implies$ вторая производная равна $0$ $\implies$ линейная функция $\implies$ график—прямая. $\square$

[diana_yatsenko]

Речь идет о строгом локальном экстремуме, то есть функция, каждая точка которой была бы наибольшей (наименьшей) в локальной окрестности. Функция y=c имеет каждую точку своей области определения, как наибольшую и наименьшую одновременно, но эти точки не являются строгими экстремумами, о коих речь и идет.

[gris]

А сколько может быть строгих экстремумов у <непрерывной> функции?
(хотя для прикола можно сказать, что непрерывность понимается "по множеству", и тогда пример можно построить)

[diana_yatsenko]

Непрерывная функция не имеет ограничений по количеству экстремумов. По-моему. А по поводу вопроса, возьмем, к примеру, функцию Вейерштрасса: она имеет каждую точку своей области определения как критичную.

[gris]

Под словом "сколько" я понимал мощность. Да, можно построить пример непрерывной функции со счётным количеством изолированных точек экстремума. $f(x)=x\sin(1/x); f(0)=0$. А дальше? Функцию со всюду плотным множеством точек экстремума? Ещё дальше? Функцию с континуумом точек экстремума? А ведь у Вас, если функция определена на интервале, должно быть несчётное множество точек экстремума. Может ли быть такое? Кстати, на форуме вопрос обсуждался, по-моему.

[Legioner93]

С несчётным вроде тривиально (то, что спрашивает ТС), а с плотным как?

[gris]

пример в студию!

[Legioner93]

Пример чего?

[gris]

Функции с несчётным числом строгих экстремумов

[Legioner93]

Я имел в виду, что тривиально доказательство того, что несчётного числа не бывает.
Доказательство: Пусть функция определена на некотором конечном промежутке ширины $\Delta$. Каждой точке сопоставим ширину максимального симметричного интервала, внутри которого значения функции на всех точках больше, чем значения центра (минимума). Число точек, у которых это число больше некоторого $\delta$, не превосходит $2\frac{\Delta}{\delta}$ (может быть ещё +1), то бишь конечное. Ну и в итоге не более чем счётное. Для бесконечного промежутка так же.

[ewert]

diana_yatsenko в сообщении #903237 писал(а):

возьмем, к примеру, функцию Вейерштрасса: она имеет каждую точку своей области определения как критичную.

В каком смысле критичную?...

Вы явно понимаете критичность как нехорошесть, и экстремальность -- тоже как нехорошесть; однако это вовсе не означает, что речь идёт об одинаковых нехорошестях.