Сколько выделится тепла на резисторе?

[dinamo-3]

На резисторе сопротивлением $R$ за время $t$ ток $I$ равномерно увеличивается на $\Delta I$. Определить количество теплоты выделенной на резисторе за время $t$.

Как здесь решать? Брать средний ток $E=(I+\frac{\Delta I}{2})^2\cdot R\cdot t$ или среднее квадратов токов $E=\frac{I^2+(I+\Delta I)^2}{2}\cdot R\cdot t$?
А может эти оба варианта не верны?

[Ms-dos4]

$\[Q = R\int\limits_0^t {{J^2}(t)dt} \]$
$\[J(t)\]$ по условию линейная функция, вот и найдите её из условий, данных в задаче

[dinamo-3]

Ms-dos4 в сообщении #902520 писал(а):

$\[Q = R\int\limits_0^t {{J^2}(t)dt} \]$
$\[J(t)\]$ по условию линейная функция, вот и найдите её из условий, данных в задаче

Получается уравнение $I(t)=\frac{\Delta I}{t}+I$

Далее решаем интеграл:
$Q=R\int\limits_0^t{{I^2}(t)dt}=R\int\limits_0^t{{(\frac{\Delta I}{t}+I)^2}dt}=R\int\limits_0^t{(\frac{\Delta I^2}{t^2}+I^2+\frac{2I\Delta I}{t})dt}=R\Delta I^2\int\limits_0^t{\frac{dt}{t^2}}+RI^2\int\limits_0^t{dt}+2RI\Delta I\int\limits_0^t{}\frac{dt}{t}=-R\Delta I^2(\frac{1}{t}-\frac{1}{0})+I^2R(t-0)+2RI\Delta I(\ln(t)-\ln(0))$
Но здесь имеются недопустимые действия: $\frac{1}{0}$ и $\ln(0)$

[DimaM]

dinamo-3 в сообщении #902543 писал(а):

Получается уравнение $I(t)=\frac{\Delta I}{t}+I$

Неверно.

Ms-dos4 в сообщении #902520 писал(а):

$\[Q = R\int\limits_0^t {{J^2}(t)dt} \]$

Наверно, нехорошо обозначать переменную интегрирования и верхний предел одной и той же буквой.

[Ms-dos4]

DimaM
Об этом уже копья несколько раз переломали. Вообще конечно нехорошо, но когда спутать ничего нельзя - то можно
Тут вообще обозначения корявенькие, лучше так переформулировать
"На резисторе сопротивлением $\[R\]$ за время $\[\tau \]$ ток $\[{I_0}\]$ равномерно увеличивается на $\[\Delta I\]$. Определить кол-во теплоты выделившееся на резисторе за время $\[\tau \]$"
dinamo-3
Вы линейную функцию как составляете? У вас она имеет вид $\[I = kt + b\] $. При этом $\[I(0) = {I_0}\]$ и $\[I(\tau ) = {I_0} + \tau \]$ (fix $\[I(\tau ) = {I_0} + \Delta I\]$). Вот и решите систему. И потом уже $\[Q = R\int\limits_0^\tau {{I^2}dt} \]$

[ktoto]

DimaM в сообщении #902546 писал(а):

Наверно, нехорошо обозначать переменную интегрирования и верхний предел одной и той же буквой.

Верно, отсюда все проблемы. Поэтому лучше обозначить $T$

dinamo-3 в сообщении #902518 писал(а):

за время $t$ ток $I$ равномерно увеличивается на $\Delta I$.

$I(t) = I + \Delta I \frac{t}{T}$

[Ms-dos4]

ktoto в сообщении #902550 писал(а):

Верно, отсюда все проблемы. Поэтому лучше обозначить $T$

Проблемы в выражении $\[\int\limits_0^x {f(x)dx} \]$ могут появиться, только если вы будете выполнять дифференцирование под знаком интеграла или похожие операции. В других случаях проблем нет.

[ktoto]

Ms-dos4 в сообщении #902552 писал(а):

Проблемы в выражении $\[\int\limits_0^x {f(x)dx} \]$ могут появиться

Нечёткое обозначение приводит к ошибкам в дальнейших вычисления, но так обозначили не Вы.
А выражение $F(x) = \[\int\limits_0^x {f(x)dx} \]$ - это функция.

[Ms-dos4]

ktoto
Об этом и речь, что в задаче обозначения такие, что $\[\int\limits_0^t {I(t)dt} \]$ функцией не является. Я лишь говорю, что это нужно держать в голове, что бы не наломать дров. Хотя безусловно, лучше обозначит время протекания тока за $\[\tau \]$ (см. выше, я уже писал как лучше переформулировать задачу, там и $\[I(t)\]$ - функция тока, и в то же время $\[I\]$ - его начальное значение, вот это действительно может привести к проблемам)

[dinamo-3]

DimaM в сообщении #902546 писал(а):

dinamo-3 в сообщении #902543 писал(а):

Получается уравнение $I(t)=\frac{\Delta I}{t}+I$

Неверно.

Ms-dos4 в сообщении #902520 писал(а):

$\[Q = R\int\limits_0^t {{J^2}(t)dt} \]$

Наверно, нехорошо обозначать переменную интегрирования и верхний предел одной и той же буквой.

Виноват, исправляюсь.
Уравнение: $I(t)=\frac{\Delta I}{\Delta t}+I$, здесь $\Delta t$ тот самый интервал времени, за который изменяется ток.
Потом: $Q=R\int\limits_0^t{I^2(t)dt}=R\int\limits_0^t{(\frac{\Delta I}{\Delta t}t+I)^2dt}=Rt(\frac{\Delta I^2}{3}+I^2+I\Delta I)$
Вроде, как похоже на истину.

[DimaM]

dinamo-3 в сообщении #902576 писал(а):

Уравнение: $I(t)=\frac{\Delta I}{\Delta t}+I$

Опять неверно.
Вам уже практически написали, надо чуть-чуть дорешать:

Ms-dos4 в сообщении #902549 писал(а):

$\[I(\tau ) = {I_0} + \tau \]$

Надо бы $\[I(\tau ) = {I_0} + \Delta I \]$.

[Ms-dos4]

DimaM
Да, спасибо что поправили, я там опечатался

[dinamo-3]

DimaM в сообщении #902597 писал(а):

dinamo-3 в сообщении #902576 писал(а):

Уравнение: $I(t)=\frac{\Delta I}{\Delta t}+I$

Опять неверно.
Вам уже практически написали, надо чуть-чуть дорешать:

Ms-dos4 в сообщении #902549 писал(а):

$\[I(\tau ) = {I_0} + \tau \]$

Надо бы $\[I(\tau ) = {I_0} + \Delta I \]$.

Я торопился и недописал.
Да, там должно быть как Вы пишете:
$I(t)=\frac{\Delta I}{\Delta t}\cdot t+I$, ну а так как по условию $t$ это $\Delta t$, то после сокращения получится.
Но ответ совпал, я пробовал через через программку, где участок изменения тока разделил на 1000 частей и по каждой части нашёл выделяемую энергию.

[Ms-dos4]

dinamo-3
Зачем искать какие-то участки, (см. мои обозначения в этом), $\[I(t) = {I_0} + \frac{{\Delta I}}{\tau }t\]$. Тогда $\[\begin{array}{l} Q = R\int\limits_0^\tau {{{(I + \frac{{\Delta I}}{\tau }t)}^2}dt} = R\frac{\tau }{{\Delta I}}\int\limits_0^\tau {{{(I + \frac{{\Delta I}}{\tau }t)}^2}d(I + \frac{{\Delta I}}{\tau }t)} = \left. {R\frac{\tau }{{3\Delta I}}{{(I + \frac{{\Delta I}}{\tau }t)}^3}} \right|_0^\tau = \\ = \frac{{R\tau }}{{3\Delta I}}[{(I + \Delta I)^3} - {I^3}] \end{array}\]$