Вывод суммы гармонического ряда

[xolodec]

Совсем запутался в выводе, три дня вот уже как топчусь на месте и не могу решить задачу следующего вида :
Применить к сумме $\sum_0^n kH_k$ метод приведения и найти $\sum_0^n H_k$ .
Вот ход моих рассуждений.

$\sum_0^n kH_k = S_n $
$\sum_0^n kH_k + (n+1)H_{n+1}=\sum_0^{n+1} kH_k = 0H_0 + \sum_1^{n+1} kH_k $
Таким образом :
$ S_n + (n+1)H_{n+1} =0H_0 + \sum_0^{n} (k+1)H_{ k+1 } = 0H_0 + \sum_0^{n} kH_{ k+1 } + \sum_0^{n} H_{ k+1 } $

Что делать дальше, я не знаю, я перепробовал много вариантов, но так и не смог получит приведенный ответ :
$S_n + (n+1)H_{n+1} = S_n + \sum_0^n H_{k} + n + 1 $

После долгих мытарств, я попробовал пойти от ответа, но и тут наткнулся на какую то странность:
Если
$S_n + (n+1)H_{n+1} = S_n + \sum_0^n H_{k} + n + 1 $
А мы знаем, что
$S_n + (n+1)H_{n+1} =0H_0 + \sum_0^{n} (k+1)H_{ k+1 } $
То
$ \sum_0^{n} (k+1)H_{ k+1 } = S_n + x $
Где
$x = \sum_0^nk(H_{ k+1 } - H_k) + \sum_0^n H_{ k+1 } = \sum_0^n \frac{-1}{k+1} + \sum_0^n H_{ k+1 } =0 !$

[TOTAL]

xolodec в сообщении #900062 писал(а):

Совсем запутался в выводе, три дня вот уже как топчусь на месте и не могу решить задачу следующего вида :
Применить к сумме $\sum_0^n kH_k$ метод приведения и найти $\sum_0^n H_k$ .

Что такое найти $\sum_0^n H_k$?

[xolodec]

Найти $\sum_0^nH_k$ означает найти сумму гармонических чисел ( $\sum_0^n 1/ k$ ).

[ewert]

xolodec в сообщении #900750 писал(а):

найти сумму гармонических чисел ( $\sum_0^n 1/ k$ ).

Это легко: она равна бесконечности.

[Ms-dos4]

xolodec
Суммирование прям с нуля? Тогда сумма не определена.
Ну а если это поправить, то всё равно никакого точного выражения для $\[\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} \]$ (в виде $\[F(n)\]$) вы не получите, есть только асимптотики.

[xolodec]

Так вот в чем была моя ошибка !
Я неправильно прочитал обозначения !

Найти $\sum_0^nH_k$ означает найти сумму k-тых частичных сумм гармонических чисел ( $\sum_{k=0}^n\sum_{j=1}^k \frac{1}{k}$ )

Тогда понятно, что у меня ничего не получилось бы !

[ewert]

xolodec в сообщении #900848 писал(а):

означает найти сумму k-тых частичных сумм гармонических чисел ( $\sum_{k=0}^n\sum_{j=1}^k \frac{1}{k}$ )

Это не менее легко: $\sum_{j=1}^k \frac{1}{k}=1$.

[Ms-dos4]

xolodec
Вы с обозначениями то разберитесь. Вы имели ввиду $\[\sum\limits_{k = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^k {\frac{1}{j}} } = \sum\limits_{k = 1}^n {{H_k}} \]$? Ну это легко, рассмотрите $\[\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {k{H_k}} \]$. Сместите индексы, разложите сумму на две и выразите $\[\sum\limits_{k = 1}^n {{H_k}} \]$. В ответе должно получится $\[\sum\limits_{k = 1}^n {{H_k}} = (n + 1)({H_{n + 1}} - 1)\]$
----
Можно даже проще, легко заметить, что в сумме $\[\sum\limits_{k = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^k {\frac{1}{j}} } \]$ 1-цы суммируются $\[n\]$ раз, $\[\frac{1}{2}\]$ суммируются $\[n - 1\]$ раз и т.д., т.е. $\[\sum\limits_{k = 1}^n {{H_k}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}(n - k + 1)} = (n + 1){H_n} - n\]$, что то же самое

[ewert]

Ms-dos4 в сообщении #900879 писал(а):

легко заметить, что в сумме $\[\sum\limits_{k = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^k {\frac{1}{j}} } \]$ 1-цы суммируются $\[n\]$ раз, $\[\frac{1}{2}\]$ суммируются $\[n - 1\]$ раз и т.д., т.е. $\[\sum\limits_{k = 1}^n {{H_k}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}(n - k + 1)} = (n + 1){H_n} - n\]$

Не нужно ничего замечать -- достаточно просто поменять порядок суммирования (что напрашивается), и всё вылезет автоматом.

Однако для этого требуется угадать, чего же ТС, собственно, нужно; а вот это уже очень трудно.

[xolodec]

Простите меня за неточность формулировки, я , правда сам неправильно прочитал обозначения. И очень долго шел по пути, ведущему в никуда.
Или лыжи не едут, или я того.

Что я не так делаю ?
У меня в конце получается
$H_{n+1}(1 + \frac{n(n+1)}{2})$ а это совсем не $n+1$




Про изменить порядок суммирования - не понял, порядок суммирования чего нужно изменить?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Картинку убираем и заменяем формулами в $\TeX$.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.