2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение23.08.2014, 11:15 
Аватара пользователя
Требуется решить операционным методом задачи Коши для дифуров со своеобразными правыми частями:
$$\frac{e^{kt}}{b + e^t}, \quad \frac{\sin 2kt}{b + \sin^2kt}, \quad \frac{te^{\alpha t}}{at^2+bt+c}.$$
Например, я пытаюсь найти преобразование Лапласа от $\frac{e^{kt}}{b + e^t}$ по определению - получается трансцендентная функция. С остальными двумя, кажется, будет то же самое.

Подозреваю, что есть приём, которого я не знаю, позволяющий обойти эти трансцендентные функции (парочку уравнений я решил не операционным методом, а просто - в ответе ничего трансцендентного, логарифмы да арктангенсы). Какой бы это был приём и где его искать?

 
 
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение24.08.2014, 00:07 
Аватара пользователя
popolznev в сообщении #898659 писал(а):
я пытаюсь найти преобразование Лапласа от $\frac{e^{kt}}{b + e^t}$ по определению - получается трансцендентная функция.

Очень интересно! И показать можете?

 
 
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение24.08.2014, 17:01 
Аватара пользователя
Утундрий в сообщении #898955 писал(а):
Очень интересно! И показать можете?

Заговорился: не "трансцендентная", а спецфункция. Логарифм же тоже трансцендентная. Lerch Phi там выходит:
$$\int\limits_0^\infty \frac{e^{kt}}{b+e^t} \cdot e^{-pt}\,dt = \int\limits_0^\infty \frac{e^{(k-p-1)t}}{b+e^t}\,e^tdt = \int\limits_0^\infty \frac{e^{(k-p-1)t}}{b+e^t}\,d(e^t) = \int\limits_1^\infty \frac{u^q}{b+u}\,du = ...$$

 
 
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение24.08.2014, 20:47 
Аватара пользователя
Имелось в виду показать целиком. Не только с правой, но и с левой частью, да то решение "просто так", которое с логарифмами да арктангенсами тоже посмотреть было бы любопытственно. А то пока что в первом примере наблюдается бета-функция и не совсем понятно, как оттель вылезет логарифм (или арктангенс)

 
 
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение24.08.2014, 21:54 
Аватара пользователя
Утундрий в сообщении #899451 писал(а):
Имелось в виду показать целиком. Не только с правой, но и с левой частью

Для примера - одно из уравнений такое:
$$y''-3y'+2y = \frac{e^{3t}}{4+e^t}$$
И начальные условия:
$$y(0)=1, y'(0)=0.$$
В левой части преобразование Лапласа даёт понятно что:
$$(p^2-3p+2)Y(p)-p+3.$$

А решение обычным способом, с методом неопределенных коэффициентов, дает такой ответ:
$$(4 \ln(4+e^t)+3-6\ln 5) e^t + (\ln(4+e^t )-2+\ln 5)e^{2t}.$$

 
 
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение24.08.2014, 21:57 
Аватара пользователя
Простите, а вы что, совсем не ощущаете разницы между $\frac{e^{kt}}{b + e^t}$ и $\frac{e^{3t}}{4+e^t}$? Вас не посещала мысль, что второе, быть может, преобразуется существенно проще?

 
 
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение24.08.2014, 22:17 
Аватара пользователя
Утундрий в сообщении #899483 писал(а):
Простите, а вы что, совсем не ощущаете разницы (...)? Вас не посещала мысль (...)?

Да, забыл предупредить, что я олигофрен.

Мне представляется, что в том интеграле, который я расписывал двумя сообщениями выше, числитель плохой из-за $p$, так что конкретные значения $k,b$ ни при чем.

 
 
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение25.08.2014, 00:17 
Аватара пользователя
popolznev в сообщении #899497 писал(а):
забыл предупредить, что я олигофрен.
Я об этом как-то не подумал. Спасибо, данная версия многое объясняет.

popolznev в сообщении #899497 писал(а):
Мне представляется, что... конкретные значения $k,b$ ни при чем.
Неправильно вам представляется. Конкретные значения коэффициентов очень даже причём.

А то получается известный анекдот про студента, который попросил профессора сначала найти отображение полуплоскости на внутренность квадрата, потом шестиугольника, потом $n$-угольника... И в результате заявил ему "Спасибо, профессор! Благодаря вашим формулам мне, путём предельного перехода, удалось получить отображение полуплоскости на внутренность круга!"

P.S. В анекдоте не сказано, убил ли его профессор, но вероятность такого исхода весьма велика.

 
 
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение25.08.2014, 00:32 
Аватара пользователя
popolznev в сообщении #899497 писал(а):
Неправильно вам представляется. Конкретные значения коэффициентов очень даже причём.

Конкретно:
$$\int\limits_0^\infty \frac{e^{3t}}{4+e^t} \cdot e^{-pt}\,dt = \int\limits_0^\infty \frac{e^{(2-p)t}}{4+e^t}\,e^tdt = \int\limits_0^\infty \frac{e^{(2-p)t}}{4+e^t}\,d(e^t) = \int\limits_1^\infty \frac{u^q}{4+u}\,du = ...$$

 
 
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение25.08.2014, 12:26 
Можно попробовать разложить $\dfrac 1{4+e^t}$ в ряд, найти изображение для каждого члена ряда. Возможно в окончательном ответе ряд удастся свернуть.

 
 
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение25.08.2014, 13:32 
Аватара пользователя
mihiv в сообщении #899664 писал(а):
Можно попробовать разложить $\dfrac 1{4+e^t}$ в ряд, найти изображение для каждого члена ряда. Возможно в окончательном ответе ряд удастся свернуть.
Дак спецфункция же получается, и без ряда, и с рядом. Мне представляется, что как-то надо подключать левую часть уравнения и, не находя преобразование Лапласа от правой части, сразу заставить его взаимодействовать с левой.

 
 
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение25.08.2014, 13:38 
Аватара пользователя
Утундрий писал(а):
Неправильно вам представляется. Конкретные значения коэффициентов очень даже причём.

Не коэффициентов, а показателей. Но поскольку popolznev Ваших подсказок не понимает, позволю себе заметить, что $\frac{x^3}{a+x}$ например при интегрировании упрощают до $Ax^2+Bx+C + \frac{D}{a+x}$ и эта идея вполне работает и здесь, после замены $x=e^t$.

 
 
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение25.08.2014, 13:45 
popolznev в сообщении #899691 писал(а):
Мне представляется, что как-то надо подключать левую часть уравнения и, не находя преобразование Лапласа от правой части, сразу заставить его взаимодействовать с левой.

Ну так и заставьте. Что можно сказать, скажем, про $\frac1{p-1}\cdot(Lf)(p)$, исходя из теорем затухания и интегрирования оригинала?...

Но вообще это, конечно, издевательство -- решать такие уравнения операционным методом. Для этого есть метод вариации произвольных постоянных (а не неопределённых коэффициентов, кстати сказать).

 
 
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение25.08.2014, 14:10 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #899700 писал(а):
Ну так и заставьте. Что можно сказать, скажем, про $\frac1{p-1}\cdot(Lf)(p)$, исходя из теорем затухания и интегрирования оригинала?...

Да, вот что-нибудь такое надо попробовать.

ewert в сообщении #899700 писал(а):
Но вообще это, конечно, издевательство -- решать такие уравнения операционным методом. Для этого есть метод вариации произвольных постоянных (а не неопределённых коэффициентов, кстати сказать).

Да, вариации постоянных, конечно. Я совершенно согласен с вами насчет издевательства, но так поставлена учебная задача.

-- 25.08.2014, 15:13 --

Red_Herring в сообщении #899694 писал(а):
Не коэффициентов, а показателей. Но поскольку popolznev Ваших подсказок не понимает, позволю себе заметить, что $\frac{x^3}{a+x}$ например при интегрировании упрощают до $Ax^2+Bx+C + \frac{D}{a+x}$ и эта идея вполне работает и здесь, после замены $x=e^t$.

Либо я беспримерно туплю, либо одно из двух. Что делать с множителем $e^{-pt}$? Там же $p$ произвольное.

 
 
 
 Re: операционный метод, преобразование Лапласа
Сообщение25.08.2014, 15:36 
popolznev
По формулам Дюамеля попробуйте.

 
 
 [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group