вопрос по варианту задачи Сахарова

[itmanager85]

Задача Сахарова : "На стене сидит паучок. В месте нахождения паучка к стене прикреплён эластичный шнур длиной 1 метр, второй конец которого зажат в руке человека. Человек начинает идти от стены со скоростью 1 м/с. В этот же момент паучок начинает бежать по шнуру со скоростью 1 см/с.
Догонит ли паучок человека? Если да, то когда."

а если шнур растягивается по возрастающей каждую секунду геометрической прогрессии ( 1, 2, 4, 8 и т.д. (м/с) ) , то паук человека никогда не догонит ?

[Legioner93]

Да, если скорость паука в вашем варианте задачи по-прежнему 0.01. Вы решили диффур? Предельная скорость, при которой ещё не произойдёт обгона, у меня получилась $\dfrac{\ln{2}}{\ln{(1+\ln{2})}}$

[Zai]

Скорость паука будет сумма собственной скорости и доли скорости человека.
Доля скорсти определяется отношением расстояния от стенки к текущей длине жгута.
$ \dot x= V_1 + V \frac x {l+Vt}$

Решение
$ \dot x= V_1 + V_1 ln( 1+\frac {Vt} {l})$
Что-то мне кажется что при любых положительных скоростях паучек пройдет весь жгут.

[itmanager85]

Zai в сообщении #896072 писал(а):

Что-то мне кажется что при любых положительных скоростях паучек пройдет весь жгут.

так пройдёт или нет (для случая увеличения скорости человека каждую секунду по возрастающему геометрическому ряду (1,2,4 и т.д. (м/с)) )?

[Legioner93]

Не пройдёт при скорости меньше критической.
Zai
У ТС $V$ зависит от t

[Oleg Zubelevich]

Предположим, что конец шнура тянут с постоянной скоростью $V$, при этом в нерастянутом состоянии длина шнура равна $l$. Пусть $\xi$ -- лагранжева координата, нумерующая точки шнура. Причем конец шнура , который прикреплен к стене имеет координату $\xi=0$, а другой конец ( за который тянут) имеет координату $\xi=l$.

Очевидно (это физическая гипотеза про растяжение шнура), скорость точек шнура является линейной функцией от лагранжевой координаты: $v(\xi)=c_1\xi+c_2$ причем $v(0)=0,\quad v(l)=V$. Таким образом $v(\xi)=V\xi/l$. И соответственно расстояние от точки шнура $\xi$ до стены равно $s(\xi)=\xi+\frac{V\xi }{l}t$.

Введем подвижную систему координат, начало которой связано с точкой шнура, в которой находится жук. Скорость жука относительно этой системы постоянная и равна $u$. Таким образом абсолютная скорость жука , когда он находится в точке $\xi$ шнура равна $u+v(\xi)$.

$$\int_0^t\Big(u+v(\xi)\Big)=s(\xi).$$

Дифференцируя это равенство, находим

$$\dot \xi=\frac{u}{1+Vt/l},\quad \xi(0)=0$$

Откуда

$$\xi(t)=\frac{ul}{V}\ln(1+Vt/l).$$

Жук догонит человека в момент времени, который находится из уравнения $\xi(t)=l$.

[venco]

Oleg Zubelevich в сообщении #896203 писал(а):

Предположим, что конец шнура тянут с постоянной скоростью $V$

Legioner93 в сообщении #896174 писал(а):

У ТС $V$ зависит от t

[Oleg Zubelevich]

venco в сообщении #896224 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #896203 писал(а):

Предположим, что конец шнура тянут с постоянной скоростью $V$

Legioner93 в сообщении #896174 писал(а):

У ТС $V$ зависит от t

а пост ТС читать не пробовали?

[venco]

Пробовал, и вам рекомендую.

itmanager85 в сообщении #896007 писал(а):

а если шнур растягивается по возрастающей каждую секунду геометрической прогрессии ( 1, 2, 4, 8 и т.д. (м/с) )

[itmanager85]

Oleg Zubelevich в сообщении #896229 писал(а):

а пост ТС читать не пробовали?

я же написал в первом посте, что "$V$ зависит от t"

[Oleg Zubelevich]

pardon, не посмотрел

собственно, в методе решения ничего не изменилось

$$s(\xi)=\xi+\frac{\xi}{l}\int_0^tV(\tau)d\tau,\quad\dot\xi =\frac{u}{1+\frac{1}{l}\int_0^tV(\tau)d\tau},\quad \xi(0)=0.$$

[Утундрий]

Кстати, а все в курсе, что подобные задачки изначально были рассчитаны на решение их тут же влёт на время и с использованием подручных средств. В целЯх оживить компанию. Длительно их обсуждать, а тем паче не сходиться во мнениях... сильно смахивает на заседание клуба победителей специальной олимпиады.

[Prikol]

Oleg Zubelevich в сообщении #896203 писал(а):

Предположим, что конец шнура тянут с постоянной скоростью $V$, при этом в нерастянутом состоянии длина шнура равна $l$. Пусть $\xi$ -- лагранжева координата, нумерующая точки шнура. Причем конец шнура , который прикреплен к стене имеет координату $\xi=0$, а другой конец ( за который тянут) имеет координату $\xi=l$.

Очевидно (это физическая гипотеза про растяжение шнура), скорость точек шнура является линейной функцией от лагранжевой координаты: $v(\xi)=c_1\xi+c_2$ причем $v(0)=0,\quad v(l)=V$. Таким образом $v(\xi)=V\xi/l$. И соответственно расстояние от точки шнура $\xi$ до стены равно $s(\xi)=\xi+\frac{V\xi }{l}t$.

Введем подвижную систему координат, начало которой связано с точкой шнура, в которой находится жук. Скорость жука относительно этой системы постоянная и равна $u$. Таким образом абсолютная скорость жука , когда он находится в точке $\xi$ шнура равна $u+v(\xi)$.

$$\int_0^t\Big(u+v(\xi)\Big)=s(\xi).$$

Дифференцируя это равенство, находим

$$\dot \xi=\frac{u}{1+Vt/l},\quad \xi(0)=0$$

Откуда

$$\xi(t)=\frac{ul}{V}\ln(1+Vt/l).$$

Жук догонит человека в момент времени, который находится из уравнения $\xi(t)=l$.

А зачем нам ваша лагранжева координата? Без нее даже школьник решит задачку в одну строчку, даже в полстрочки.

Скорости паука и человека $u$ и $V$, длина шнура $L(t)$. Свернем шнур в кольцо. Тогда для угловой скорости козявки $\varphi (t)$ имеем:

$$\dot \varphi=\frac{2{\pi}u}{L(t)},\quad \varphi(t)=2{\pi}u\int_0^t\frac{d\tau}{L(\tau)}=2\pi$$

Это и есть обещаные полстрочки.

Разрешая последнее (из трех) равенств относительно $t$ имеем:
В первом случае $L(t) = L_o + Vt, \quad t=e^{100} - 1$
Во втором случае $L(t) = 2^t$ интергал берется, но при заданном малом отношении скоростей $u/V$ решения нет.

Общий класс неразрешимых задач определяется из условия:

$$2{\pi}u\int_0^\infty\frac{d\tau}{L(\tau)}<2\pi$$

P.S.
Кстати, в ваших интегральчиках всегда пишите переменную интегрирования, а то будем оценочки снижать.

[Oleg Zubelevich]

Prikol в сообщении #896274 писал(а):

длина шнура $L(t)$.

Prikol в сообщении #896274 писал(а):

о втором случае $L(t) = 2^t$

похоже, пацанчик даже про размерность физических величин не слышал стандартное решение списывать надо внимательно

[Prikol]

Oleg Zubelevich в сообщении #896278 писал(а):

Prikol в сообщении #896274 писал(а):

длина шнура $L(t)$.

Prikol в сообщении #896274 писал(а):

о втором случае $L(t) = 2^t$

похоже, пацанчик даже про размерность физических величин не слышал стандартное решение списывать надо внимательно

Похоже кое-кто про безразмерные величины не слышал.

$L(t) = L_0 2^{t/t_0},\quad$ где $L_0 = 1, t_0 =1$

А насчет списывания гоните ссылку на общее условие неразрешимости подобных задач, с которой я по вашему якобы списал.