Задачки по теории чисел

[boriska]

1) Разложите на простые множители число 1111111.

Проверил, что это число не делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13...
Так нужно в лоб все числа проверять? (можно, разумеется, брать только простые)

2) а) Найти все простые числа вида $2n^2+1$, где $n$ -- простое.

Мыслил так: Квадрат натурального числа числа может оканчиваться на $1,4,6,9, 0$, тогда $2n^2+1$ ,будет заканчиваться на $1,3,9$, но это пока что ничего не дает. Других идей нет.

б) Найти все простые числа вида $3n^2+1$, где $n$ -- простое.

Здесь были мысли, аналогичные пункту а)

3)

[AV_77]

2.а) рассмотрите по модулю 3
2.б) а здесь по модулю 2.

[mihailm]

1) Да делить
2а) Выпишите первые 15
3б) Выпишите первые 15

[victor.l]

Поскольку число$1111111$ частный случай числа $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$, то все его простые делители имеют вид $14n=1$.

[boriska]

Спасибо.
2a)

$9, 19, 33, 51, 73, 99, 243, 339, 579, 1059, 1683, 1923, 2739, 3363, 3699, 4419, 5619$

Многие из них делятся на 3, а какая еще закономерность?

[AV_77]

Они все делятся на 3, кроме одного. Вам этого мало?

[mihailm]

При каких $n$ на три не делится?

[boriska]

AV_77 в сообщении #894935 писал(а):

Они все делятся на 3, кроме одного. Вам этого мало?

При $n=3$.Но как это доказать? Можно так? $2n^2+1=2(n-1)(n+1)+3$. Так как при $n\ne 3$ произведение $(n-a)(n+1)$ делится на три, то и число $2n^2+1$ делится на три.

$3n^2+1=3(n-1)(n+1)+4$. Ясно, что это число четное при $n\ne 2$. Потому только при $n=2$ будет число $3n^2+1$ -- четное.

-- 10.08.2014, 14:33 --

mihailm в сообщении #894699 писал(а):

1) Да делить

Прямо в лоб делить, не уж-то нет проще способа?

[AV_77]

boriska в сообщении #894977 писал(а):

Можно так?

Можно, если чуть более аккуратно написать.

[mihailm]

boriska в сообщении #894977 писал(а):

...Прямо в лоб делить, не уж-то нет проще способа?

Попроще нет, посложнее есть

[boriska]

Спасибо, разобрался!