Равенство несобственных интегралов.

[main.c]

Доказать равенство

$$\int\limits_0^{+\infty}f(ax + \frac{b}{x})dx = \frac{1}{a}\int\limits_0^{+\infty}f(\sqrt{x^2 + 4ab})dx$$

где $a > 0$ и $b > 0$, предполагая, что интеграл в левой части равенства имеет смысл.

Была идея в обоих интегралах сделать замену переменной.
В первом: $y = ax + \frac{b}{x}$
Во втором: $y = \sqrt{x^2 + 4ab}$
Но тут проблема в том, что если во втором $dx = \frac{y}{\sqrt{y^2 - 4ab}}dy$, то в первом у меня проблема в том, что функция не выражется явно через $y$. Может я пошёл не в том направлении?

[nnosipov]

Сначала запишите

$$ \int_0^\infty f(x+1/x)dx=\int_0^1 f(x+1/x)(1+1/x^2)dx, $$

потом догадайтесь, какую замену переменной нужно сделать в последнем интеграле.

[alcoholist]

main.c в сообщении #893271 писал(а):

Доказать равенство

кстати, симпатично... ничего, кроме з.п. не нужно. Избавьтесь сначала от параметров, они только глаза мозолят


nnosipov А я по-другому делал... способов куча

[main.c]

nnosipov в сообщении #893278 писал(а):

Сначала запишите

$$ \int_0^\infty f(x+1/x)dx=\int_0^1 f(x+1/x)(1+1/x^2)dx, $$

потом догадайтесь, какую замену переменной нужно сделать в последнем интеграле.

$$ I = \int_0^1 f(x+1/x)(1+1/x^2)dx = \int_0^1 f(x+1/x)dx + \int_0^1 f(x+1/x)1/x^2dx $$

$$y = 1/x$$

$$\int_0^1 f(x+1/x)1/x^2dx = -\int_{+\infty}^{1} f(y + 1/y)dy = \int_{1}^{+\infty} f(y + 1/y)dy$$

Ну а дальше по свойству аддитивности получаем нужное равенство.

[main.c]

Только что мне это дало?

alcoholist в сообщении #893280 писал(а):

Избавьтесь сначала от параметров, они только глаза мозолят

Как мне от них избавиться?

[main.c]

nnosipov в сообщении #893278 писал(а):

Сначала запишите

$$ \int_0^\infty f(x+1/x)dx=\int_0^1 f(x+1/x)(1+1/x^2)dx, $$

потом догадайтесь, какую замену переменной нужно сделать в последнем интеграле.

А Вы тут говорите о каком последнем интеграле?
Вот этом?

$$\int_0^1 f(x+1/x)(1+1/x^2)d$$

Или вот об этом?

$$\frac{1}{a}\int\limits_0^{+\infty}f(\sqrt{x^2 + 4ab})dx$$

Не понимаю я Вашей подсказки

[nnosipov]

Сделайте в интеграле

$$\int_0^1 f(x+1/x)(1+1/x^2)dx$$

такую замену переменной, чтобы получился в точности вот этот интеграл

$$\int\limits_0^{+\infty}f(\sqrt{t^2 + 4})dt$$

(эта замена напрашивается сама собой, если посмотреть на аргументы функции $f$ в этих интегралах).

[alcoholist]

nnosipov
Зачем такие сложности? Уж сразу к гипер

-- Пн авг 04, 2014 23:06:37 --

main.c в сообщении #893305 писал(а):

Как мне от них избавиться?

З.п. -- для правой и левой части разные, но одного вида: $x=kt$

[nnosipov]

alcoholist в сообщении #893371 писал(а):

Зачем такие сложности? Уж сразу к гипер

По-моему, это очевидно, но если хочется к гипер, то можно и к гипер. Хорошо, когда есть выбор.

[alcoholist]

nnosipov в сообщении #893395 писал(а):

то можно и к гипер

там красиво получается... от минус беск до плюс беск $e^x$ -- разбиваем на два интеграла и получаем чинус