2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость метода простой итерации
Сообщение08.12.2013, 17:17 
Аватара пользователя


12/03/13
30
Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста разобраться с методом простых итераций. Если вы знаете хорошие источники, где понятно объяснена теория, то посоветуйте, пожалуйста.
Почему в результате получаем максимальное собственное значение, а не минимальное?
Почему если на вектор умножить матрицу слева, то получаем именно собственный вектор?
Вот у нас есть матрица $A$. Умножаем её на вектор $y$.
$y_1 = Ax_0,$
$y_2 = Ay_1,$
...
$y_n = Ay_{(n-1)},$
При этом процессе мы получаем ненормированный гигантский вектор и при $n \to \infty$ это, вдруг, собственный вектор.
Почему метод всё-таки сходится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость метода простой итерации
Сообщение08.12.2013, 18:19 
Заслуженный участник


25/02/08
2876
Прочитайте здесь

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость метода простой итерации
Сообщение08.12.2013, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5544
Москва
Найдите проекции начального вектора $x_0$ на собственные вектора. Воспользуйтесь тем, что умножение на матрицу операция линейная и посмотрите, что с произойдёт с проекциями вектора $x_1$ и т.д.
Да, и обычно нормализуют длину вектора на каждом шаге, во избежание неудобно больших чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость метода простой итерации
Сообщение08.12.2013, 22:50 
Заслуженный участник


11/05/08
31275
DigitChar в сообщении #797792 писал(а):
Почему в результате получаем максимальное собственное значение, а не минимальное?

А почему минимальное? Раз так, то почему не среднее какое-нибудь, в конце концов?...

Евгений Машеров в сообщении #797907 писал(а):
Найдите проекции начального вектора $x_0$ на собственные вектора.

Только не проекции и не на обязательно собственные. Бывают ещё и присоединённые. Короче, надо приплетать жорданову форму матрицы и по соответствующему корневому базису и раскладывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость метода простой итерации
Сообщение08.12.2013, 23:02 
Аватара пользователя


12/03/13
30
Ms-dos4 в сообщении #797822 писал(а):
Прочитайте здесь

Спасибо, Ms-dos4.

-- 09.12.2013, 07:05 --

ewert в сообщении #797944 писал(а):
А почему минимальное? Раз так, то почему не среднее какое-нибудь, в конце концов?...

Вот именно)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость метода простой итерации
Сообщение08.12.2013, 23:23 
Заслуженный участник


11/05/08
31275
Только имейте в виду, что они там рассматривают метод итераций лишь применительно к диагонализуемой матрице. Т.е. для недиагонализуемой он, в принципе, тоже сходится; но, во-первых, это уже сложнее, а во-вторых, сходится лишь теорекхьтицски, пракхьтицскхи же (для нехороших старших с.ч.) -- безумно медленно, так что можно сказать, что и не сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость метода простой итерации
Сообщение09.12.2013, 08:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5544
Москва
Ну, с точки зрения практического вычисления спасает то, что малое возмущение переводит недиагонализируемую матрицу в диагонализируемую, и роль такого возмущения любезно берут на себя ошибки округления. Хуже, если старшее с.з. комплексное или если оно кратное. Простая итерация без дополнительных приёмов может не сходиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость метода простой итерации
Сообщение02.08.2014, 06:59 
Заблокирован


02/08/14

56
Советую ознакомиться с замечательной книгой Дж. Х. Уилкинсона "Алгебраическая проблема собственных значений".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group