Разрешимое сравнение

[nnosipov]

Пусть $p \equiv 1 \pmod{6}$ --- простое число. Докажите, что сравнение $x^p+y^p \equiv 1 \pmod{p^2}$ разрешимо в целых числах $x$, $y$, не кратных $p$.

[vorvalm]

nnosipov в сообщении #890575 писал(а):

разрешимо в целых числах

А разве может быть иначе?

[nnosipov]

То есть не в целых? Вообще говоря, да. Есть понятие сравнения по модулю некоторого идеала в каком-нибудь кольце. Частным случаем этого понятия являются обычные числовые сравнения.

[Whitaker]

nnosipov
Очень интересная задача! Когда-то смотрел сборник каких-то олимпиадных что-то похожее было.
Вряд ли решу эту задачу, но подумаю. А вообще интересно было бы посмотреть решение.

[nnosipov]

Задача несложная. Похожих много.

[vorvalm]

nnosipov в сообщении #890659 писал(а):

Задача несложная.

Положительный результат можно получить, приняв $y=x-1$

[nnosipov]

vorvalm в сообщении #890694 писал(а):

Положительный результат можно получить, приняв $y=x-1$

А как именно? И нет ли здесь опечатки?

[vorvalm]

nnosipov в сообщении #890698 писал(а):

И нет ли здесь опечатки?

Что имеется в виду?

[nnosipov]

Имеется в виду $y=1-x$.

[vorvalm]

nnosipov в сообщении #890703 писал(а):

Имеется в виду $y=1-x$.

Я считал, что $x$ и $y$ - натуральные числа.

[nnosipov]

vorvalm в сообщении #890705 писал(а):

Я считал, что $x$ и $y$ - натуральные числа.

То есть опечатки нет? Окей, пусть $x$, $y$ будут натуральными, хотя это неважно. Так как же помогает подстановка $y=x-1$?

[vorvalm]

nnosipov в сообщении #890707 писал(а):

Так как же помогает подстановка $y=x-1$

Надо поставить $x-1$ вместо $y$, но по модулю $p$
Затем идут рутинные вычисления, но получим:

$x^p\equiv 1\pmod p$

А дальше дело техники.

[nnosipov]

vorvalm в сообщении #890710 писал(а):

Затем идут рутинные вычисления, но получим:

$x^p\equiv 1\pmod p$

Но тогда $x \equiv 1 \pmod{p}$ и, следовательно, $y=x-1 \equiv 0 \pmod{p}$. А это нехорошо, ибо в условии сказано "в целых числах ... не кратных $p$".

[vorvalm]

nnosipov в сообщении #890713 писал(а):

А это нехорошо

Да, действительно, нехорошо.
P.S. Но выход есть.

[vorvalm]

nnosipov в сообщении #890703 писал(а):

Имеется в виду $y=1-x$.

Извините, что сразу не понял вашей подсказки
Действительно

$x^p+y^p\equiv x+y\pmod {p^2}$.