Матожидание числа неатакованных белых клеток

[sng1]

На черных клетках квадратной шахматной доски, содержащей $4n^2$ клеток, случайно расставлено $[2n^2p]$ королей ($0 \leq p \leq 1$). $Y$:=число неатакованных белых клеток, случайная величина. $\overline{Y}$ - матожидание $Y$.
Найти $\overline{Y}$ и $\overline{2^Y}$.
1. Если кому-то встречалась эта задача в литературе (возможно англоязычной), подскажите пожалуйста ссылку.
2. Предполагаю, что $\overline{Y}=2n^2(1-p)^4$ (асимптотически по $n$), т.к. моделирование в MATLAB показало, что для $n=3,4,5$, $\overline{Y}$ есть некоторый полином 4 степени от $p$, и в предположении, что это верно и для всех больших $n$, предельный переход дает результат предположения. Также, моделирование показало, что $\overline{Y^2}$ есть некоторый полином 8 степени от $p$ для $n=3,4,5$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Пожалуйста, приведите попытки решения, конкретные затруднения и обоснования своих предположений.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Cash]

sng1 в сообщении #890105 писал(а):

Предполагаю, что $\overline{Y}=2n^2(1-p)^4$ (асимптотически по $n$)

Это разумное предположение. А получить его можно, ответив на несложный вопрос: какова вероятность конкретной белой клетки (например, d3) быть неатакованной?

[sng1]

А что на счет $\overline{2^Y}$ или $\overline{Y^2}$ ? Нет ли для них каких нибудь предположений?

[Cash]

как-то особого желания изучать объекты безо всякого "физического" смысла нет. А какие предпосылки, что $\overline{Y^2} \ne \overline{Y}^2$?

[ИСН]

Cash в сообщении #890172 писал(а):

А какие предпосылки, что $\overline{Y^2} \ne \overline{Y}^2$?

Их разность называется дисперсией, и довольно часто бывает равна чему-нибудь (не нулю).

[Cash]

Смешно
Интересует данный конкретный случай. Я просто поинтересовался у ТС, смотрел ли он эту зависимость? Насколько сильно при моделировании эти величины различаются?

[sng1]

Моделирование в MATLAB показало, что для $n=3,4,5$ дисперсия ненулевая, а в предположении что полином для $\overline{Y^2}$ сохраняется для $n>5$, предельный переход для дисперсии тоже дает не 0. $\overline{2^Y}$ связано с hard square entropy constant.

[Cash]

$n=5$ - это слишком мало. Здесь число краевых клеток сравнимо с числом внутренних. Надо исследовать на порядок большие значения.

[sng1]

Есть предположение, что $\overline{Y^k}$ есть некоторый полином степени $4k$ по $p$. При $p=0$ дисперсия нулевая. Тогда по $4k$ точкам, можно получить полином аналитически (что я и сделал для $k=1,2$) и проверить соответсвие аналитической формулы практике для небольших $n$ (соответствует для $n=3,4,5$). Наверняка соответствие есть и для всех больших $n$. Вопрос в другом, как подойти к вычислению $\overline{2^Y}$ ?